Rahasia Da Vinci Code
JAKARTA -- Novel paling terkenal setelah buku Harry Potter tahun lalu, tak ragu-ragu adalah Da Vinci Code.Ceritanya sangat asyik. Tapi bukan tentang keasyikan kisahnya yang akan ditulis di sini. Halaman ini membahas kode deretan angka matematika yang ajaib, yang dijadikan salah satu kunci penting novel sangat menegangkan itu.
Angka itu adalah 1,6. Angka yang dalam matematika dikenal sebagai Phi dengan simbol .
Dalam salah satu bab, novel Da Vinci Code bercerita tentang bagaimana tokoh utamanya, Robert Langdon, menjelaskan bagaimana angka ini begitu ajaib di alam semesta.
Ingat berapa tinggi tubuh kita? Ambil meteran, ukur tinggi pusar di perut kita dari lantai. Jika tinggi badan dibagi tinggi pusar dihitung, hasilnya adalah 1,6:1
Itu di tubuh manusia. Tapi tidak hanya berlaku di tubuh manusia, tetapi juga pada tumbuhan dan hewan . Contohnya pada suatu cabang dari pohon dan jumlah lebah madu jantan dan betina, jika dibandingkan akan ketemu angka yang mendekati 1,6:1.
Contoh lain, garis-garis di cincin planet Saturnus juga mengikuti pola ini. Lebar masing-masing cincin memiliki rasio 1,6:1.
Angka ajaib ini sudah ditemukan sejak ribuan tahun silam, saat para Fir'aun masih berkuasa di Mesir. Piramid, bangunan raksasa tempat para Fir'aun dimakamkan itu, juga dibangun dengan memanfaatkan Phi.
Belakangan, orang Yunani, mengadopsi angka ajaib ini saat membuat sejumlah bangunan. Partheon yang masih tersisa itu, misalnya, juga dibangun dengan konsep Phi untuk panjang dan lebar bangunan.
Angka ajaib itu, 1,6, memang sudah ribuan tahun ditemukan. Tapi "pasangan" angka itu--deretan Fibonacci--baru muncul pada sekitar abad ke-12.
Deretan ini adalah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, dan seterusnya. Angka yang muncul di deretan adalah penjumlahan dua angka sebelumnya.
Saat Leonardo Fibonacci, yang lahir di Italia pada 1175, menemukan deretan yang membuat namanya abadi, ia tidak sadar deretan itu berhubungan dengan Phi. Ia hanya mengungkap angka ini untuk meneliti tingkat pertumbuhan jumlah kelinci saat jantan dan betina disatukan.
Hubungannya sederhana. Setiap angka dibagi angka sebelumnya dalam deretan itu, hasilnya akan mendekati Phi, mulai dari angka 5. Semakin besar angkanya, semakin dekat dengan Phi yang nilainya 1,618.
Misalnya, 5/3 hasilnya adalah 1,666. Berikutnya, 8/5 adalah 1,6. Digeser satu lagi, 13/8 adalah 1,625. Semuanya dekat dengan 1,618. Jadi, boleh dikatakan, deretan ini menjadi gambaran matematis angka keramat ini.
Deretan Fibonacci yang letaknya diacak menjadi kunci teka-teki pertama dalam novel Da Vinci Code. Tidak mengherankan, soalnya Leonardo Da Vinci--pelukis Mona Lisa, Last Supper, sampai perancang helikopter pertama--sangat gemar memasukkan perbandingan keramat ini dalam karya-karyanya.
Da Vinci sangat memahami betapa teraturnya alam ini tersusun. Keteraturan dengan rasio 1,6:1. Keajaiban alam. Nurkhoiri.
Sumber: da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
The Secret of Da Vinci Code
Jakarta-The most popular novel after Harry potter last year, unhesitant is Da Vinci Code. The story is very absorbed. But this article not tells about its absorbed. This page wills discuses about magic’s code of mathematic number, which become an important key in this novel.
The number is 1,6. The number in mathematic, we usually call with “phi”.
On the one chapter, Da Vinci Code novel tells about how the prominent personage, Robert Langdon, describe how this number is very magic in the world.
Remember how tall our body? Get the ruler, measure high of navel in our stomach from floor. If high of body divided by high of navel, we can get 1,6 : 1
It’s happen in human body. But actually it’s not only in the human body, but also in plant and animal. The example is in branch of tree and quantity of female bee and male bee. In comparison will found that number approach 1,6 : 1.
Other example is lines in ring of Saturnus. Width of each ring have a ratio 1,6 : 1.
This magic number has found since thousand years ago, when Firaun lead Mesir. Pyramid, the giant building, the place which is Firaun was burred, built with use ratio of phi.
Eventually, Greek adopted this magic number when they make some building. Partheon also built with concept of phi to length and the width of building.
That magic number, 1,6 , indeed has been discovery thousand years ago. But, set this number, Fibonacci line are appear around 12th century.
These lines are 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. The number in line is adding two numbers before.
When Leonardo Fibonacci, was born in Italia (1175), found line that make his name eternal, he don’t aware this line related with Phi. He only reveal this number for research level of growth sum of rabbit when join the male and female rabbits.
The related is simple. Each number divided by number before in that line, the result will approach phi, start from 5. The bigger the number, so the price will increasingly approach Phi.
Example, 5/3 that results is 1,666. Then, 8/5 is 1,6, 13/8 is 1,625. All of results are near with 1,618. So, in other word, this line be mathematic illustration this sacred number.
Fibonacci line, that position was random, is a key of first puzzle on Da Vinci Code novel. Not surprise because Leonardo Da Vinci, painter of Mona Lisa, Last Supper, until designer first helicopter, very like input this sacred ratio on his creations.
Da Vinci very understands that the world composed regulated nicely. Regularity with ratio 1,6 : 1. It’s the magic of world. nurkhoiri.
Source : da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
Minggu, 21 Desember 2008
translate english to indonesia
Euclidean geometry
Euclidean geometry is a mathematical system attributed to the Greek mathematician Euclid of Alexandria. Euclid's text Elements is the earliest known systematic discussion of geometry. It has been one of the most influential books in history, as much for its method as for its mathematical content. The method consists of assuming a small set of intuitively appealing axioms, and then proving many other propositions (theorems) from those axioms. Although many of Euclid's results had been stated by earlier Greek mathematicians, Euclid was the first to show how these propositions could be fit together into a comprehensive deductive and logical system.
The Elements begin with plane geometry, still taught in secondary school as the first axiomatic system and the first examples of formal proof. The Elements goes on to the solid geometry of three dimensions, and Euclidean geometry was subsequently extended to any finite number of dimensions. Much of the Elements states results of what is now called number theory, proved using geometrical methods.
For over two thousand years, the adjective "Euclidean" was unnecessary because no other sort of geometry had been conceived. Euclid's axioms seemed so intuitively obvious that any theorem proved from them was deemed true in an absolute sense. Today, however, many other self-consistent non-Euclidean geometries are known, the first ones having been discovered in the early 19th century. It also is no longer taken for granted that Euclidean geometry describes physical space. An implication of Einstein's theory of general relativity is that Euclidean geometry is a good approximation to the properties of physical space only if the gravitational field is not too strong.
Axiomatic approach
Euclidean geometry is an axiomatic system, in which all theorems ("true statements") are derived from a finite number of axioms. Near the beginning of the first book of the Elements, Euclid gives five postulates (axioms):
1. Any two points can be joined by a straight line.
2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
4. All right angles are congruent.
5. Parallel postulate. If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.
These axioms invoke the following concepts: point, straight line segment and line, side of a line, circle with radius and center, right angle, congruence, inner and right angles, sum. The following verbs appear: join, extend, draw, intersect. The circle described in postulate 3 is tacitly unique. Postulates 3 and 5 hold only for plane geometry; in three dimensions, postulate 3 defines a sphere.
A proof from Euclid's elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.
Postulate 5 leads to the same geometry as the following statement, known as Playfair's axiom, which also holds only in the plane:
Through a point not on a given straight line, one and only one line can be drawn that never meets the given line.
Postulates 1, 2, 3, and 5 assert the existence and uniqueness of certain geometric figures, and these assertions are of a constructive nature: that is, we are not only told that certain things exist, but are also given methods for creating them with no more than a compass and an unmarked straightedge. In this sense, Euclidean geometry is more concrete than many modern axiomatic systems such as set theory, which often assert the existence of objects without saying how to construct them, or even assert the existence of objects that cannot be constructed within the theory.
Strictly speaking, the constructs of lines on paper etc are models of the objects defined within the formal system, rather than instances of those objects. For example a Euclidean straight line has no width, but any real drawn line will.
The Elements also include the following five "common notions":
1. Things that equal the same thing also equal one another.
2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
4. Things that coincide with one another equal one another.
5. The whole is greater than the part.
Euclid also invoked other properties pertaining to magnitudes. 1 is the only part of the underlying logic that Euclid explicitly articulated. 2 and 3 are "arithmetical" principles; note that the meanings of "add" and "subtract" in this purely geometric context are taken as given. 1 through 4 operationally define equality, which can also be taken as part of the underlying logic or as an equivalence relation requiring, like "coincide," careful prior definition. 5 is a principle of mereology. "Whole", "part", and "remainder" beg for precise definitions.
In the 19th century, it was realized that Euclid's ten axioms and common notions do not suffice to prove all of theorems stated in the Elements. For example, Euclid assumed implicitly that any line contains at least two points, but this assumption cannot be proved from the other axioms, and therefore needs to be an axiom itself. The very first geometric proof in the Elements, shown in the figure on the right, is that any line segment is part of a triangle; Euclid constructs this in the usual way, by drawing circles around both endpoints and taking their intersection as the third vertex. His axioms, however, do not guarantee that the circles actually intersect, because they are consistent with discrete, rather than continuous, space. Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert, George Birkhoff, and Tarski.
To be fair to Euclid, the first formal logic capable of supporting his geometry was that of Frege's 1879 Begriffsschrift, little read until the 1950s. We now see that Euclidean geometry should be embedded in first-order logic with identity, a formal system first set out in Hilbert and Wilhelm Ackermann's 1928 Principles of Theoretical Logic. Formal mereology began only in 1916, with the work of Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski and his students did major work on the foundations of elementary geometry as recently as between 1959 and his death in 1983.
Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Geometri Euclid
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematika Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang pertama mengenai geometri. Ini sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan metode yang mempunyai kandungan matematika. Metode yang mengandung anggapan satu set aksioma secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudian membuktikan banyak usul (teorema-teorema) daripada aksioma-aksioma tersebut. Walaupun banyak hasil dari Euclid sudah dikemukakan oleh ahli-ahli matematika Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang pertama yang menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logika yang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri bidang, yang masih diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioma dan sebagai contoh pembuktian formal yang pertama. Elements menuju pada geometri pejal dalam dimensi tiga, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan Elements menyatakan hasil dalam apa yang kini disebut sebagai teori bilangan, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif "Euclid" tidak diperlukan karena pada masa itu tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma-aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas sehinga pembuktian teorema lainnya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun juga, banyak geometri non Euclid lain telah diketahui, yang pertama telah ditemukan pada awal abad ke-19. Ini juga tidak boleh dianggap mudah bahwa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fisik. Sebuah implikasi dari teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahwa geometri Euclid merupakan sebuah tafsiran terhadap sifat-sifat dari ruang fisik, hanya apabila medan gravitasi tidak terlalui kuat.
Pendekatan aksioma
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem aksioma, dimana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil dari satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksioma):
1. Ada dua titik dapat dihubungkan menjadi satu garis lurus.
2. Ada segmen garis lurus dapat dipanjangkan tak terhingga di dalam satu garis lurus.
3. Diberikan segmen garis lurus, satu lingkaran dapat dilukis dengan menggunakan segmen garis lurus tersebut sebagai jari-jari dan titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut siku-siku adalah kongruen.
5. Postulat kesejajaran. Jika dua garis berpotongan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalam adalah kurang dari satu lagi, maka dua garis ini pasti berpotongan satu sama lain apabila diperpanjang secukupnya.
Aksioma-aksioma ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, garis lurus dan garis, sebagian dari ruas garis, lingkaran dengan jari-jari dan pusat, sudut siku-siku, kekongruenan, sudut-sudut dalam dan siku-siku, jumlah. Hal tersebut memuncukanl: gabungan, perpanjangngan, pelukisan, perpotongan. Lingkaran ini digambarkan pada postulat 3 sangat unik. Postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri bidang; dalam dimensi tiga, postulat 3 mendefinisikan suatu bola.
Sebuah bukti dari buku Euclid "Elements" bahwa apabila diberikan satu segmen garis, satu segitiga sama sisi termasuk segmen garis sebagai salah satu dari tiga sisi. Buktinya adalah dengan mengkonstruksi satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε, berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu perpotongan pada lingkaran sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 dibawa kepada geometri yang sama seperti penyataan berikut, yang dikenal sebagai Aksioma Playfair, yang hanya berlaku pada bidang itu.
Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, hanya ada satu garis yang dapat dilukis, yang tidak mungkin bertemu dengan garis yang diberikan tersebut.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan tidak lepas dari satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam pengertian ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksioma modern lainnya seperti teori set, dimana sering menegaskan keberadaan objek-objek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek-objek yang tidak dikonstruksi dengan teorimtersebut.
Sebenarnya, konstruksi garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model dari objek yang lebih baik didefinisikan dari sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek tersebut. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi ada garis yang dapat digambar menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":
1. Sesuatu yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan setara, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara dikurangkan setara, maka sisanya juga adalah setara.
4. Sesuatu yang bertepatan dengan satu sama lain juga setara antara satu sama lain.
5. Jumlah keseluruhan adalah lebih besar daripada bagiannya.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan jarak. 1 adalah satu-satunya bagian dari dasar logika yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetika"; perhatikan bahwa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini berarti diberi dan diambil. 1 hingga 4 secara operasional mempunyai persamaan, dimana boleh juga diambil sebagai bagian dasar logika atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertepatan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah sebuah prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebagian", dan ”sisa" memerlukan definisi yang tepat.
Pada abad ke-19, hal tersebut mengingatkan bahwa 10 aksioma Euclid dan notasi-notasi yang umum tidak mencukupi untuk membuktikan pernyataan dari semua teorema pada Elements. Contohnya, secara implisit Euclid mengansumsikan bahwa sebuah garis disusun setidaknya dari 2 titik, tetapi asumsi ini tidak bisa dibuktikan dari aksioma yang lainnya. Dan oleh karena itudiperlukan menjadi aksioma tersendiri. Bukti geometri yang paling pertama dalam Element, ditunjukkan dalam ambar pada siku-siku, bahwa setiap segmen garis adalah bagian dari segitiga; Euclid menyusun hal ini dengan cara biasa, dengan menggambar lingkaran-lingkaran disekitar titik-titik ujung dan mengambil garis potongnya sebagai ketiga vertex. Bagaimanapun aksiomanya tidak dapat menjamin bahwa lingkaran-lingkaran tersebut secara tepat berpotongan, karena keduanya berlainan, daripada berkelanjutan, ruang. Dimulai dengan Moritz Pasch tahun 1882, banyak sistem aksioma diperbaiki untuk geometri telah diusulkan, yang paling dikenal dari Hilbert, George Birkhoff, dan Tarski.
Keadilan untuk Euclid, logika formal yang pertama mampu mendukung geometrinya yang ada pada Frege’s tahun 1879 Begriffsschrif, sedikit dibaca sampai tahun 1950an. Kita sekarang tahu bahwa geometri Euclid selayaknya terkandung diorder logika pertama dengan identitas, sebuah sistem formal dikeluarkan pertama kali di Hilbert dan Wilhelm Ackermann tahun 1928 prinsip dari teori logika. Mereologi formal dimulai pada tahun1916, oleh Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski dan muridnya bekerja pada dasar dari geometri dasar yang baru-baru ini antara tahun 1959 dan beliau meninggal pada tahun 1983.
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Euclidean geometry is a mathematical system attributed to the Greek mathematician Euclid of Alexandria. Euclid's text Elements is the earliest known systematic discussion of geometry. It has been one of the most influential books in history, as much for its method as for its mathematical content. The method consists of assuming a small set of intuitively appealing axioms, and then proving many other propositions (theorems) from those axioms. Although many of Euclid's results had been stated by earlier Greek mathematicians, Euclid was the first to show how these propositions could be fit together into a comprehensive deductive and logical system.
The Elements begin with plane geometry, still taught in secondary school as the first axiomatic system and the first examples of formal proof. The Elements goes on to the solid geometry of three dimensions, and Euclidean geometry was subsequently extended to any finite number of dimensions. Much of the Elements states results of what is now called number theory, proved using geometrical methods.
For over two thousand years, the adjective "Euclidean" was unnecessary because no other sort of geometry had been conceived. Euclid's axioms seemed so intuitively obvious that any theorem proved from them was deemed true in an absolute sense. Today, however, many other self-consistent non-Euclidean geometries are known, the first ones having been discovered in the early 19th century. It also is no longer taken for granted that Euclidean geometry describes physical space. An implication of Einstein's theory of general relativity is that Euclidean geometry is a good approximation to the properties of physical space only if the gravitational field is not too strong.
Axiomatic approach
Euclidean geometry is an axiomatic system, in which all theorems ("true statements") are derived from a finite number of axioms. Near the beginning of the first book of the Elements, Euclid gives five postulates (axioms):
1. Any two points can be joined by a straight line.
2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
4. All right angles are congruent.
5. Parallel postulate. If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.
These axioms invoke the following concepts: point, straight line segment and line, side of a line, circle with radius and center, right angle, congruence, inner and right angles, sum. The following verbs appear: join, extend, draw, intersect. The circle described in postulate 3 is tacitly unique. Postulates 3 and 5 hold only for plane geometry; in three dimensions, postulate 3 defines a sphere.
A proof from Euclid's elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.
Postulate 5 leads to the same geometry as the following statement, known as Playfair's axiom, which also holds only in the plane:
Through a point not on a given straight line, one and only one line can be drawn that never meets the given line.
Postulates 1, 2, 3, and 5 assert the existence and uniqueness of certain geometric figures, and these assertions are of a constructive nature: that is, we are not only told that certain things exist, but are also given methods for creating them with no more than a compass and an unmarked straightedge. In this sense, Euclidean geometry is more concrete than many modern axiomatic systems such as set theory, which often assert the existence of objects without saying how to construct them, or even assert the existence of objects that cannot be constructed within the theory.
Strictly speaking, the constructs of lines on paper etc are models of the objects defined within the formal system, rather than instances of those objects. For example a Euclidean straight line has no width, but any real drawn line will.
The Elements also include the following five "common notions":
1. Things that equal the same thing also equal one another.
2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
4. Things that coincide with one another equal one another.
5. The whole is greater than the part.
Euclid also invoked other properties pertaining to magnitudes. 1 is the only part of the underlying logic that Euclid explicitly articulated. 2 and 3 are "arithmetical" principles; note that the meanings of "add" and "subtract" in this purely geometric context are taken as given. 1 through 4 operationally define equality, which can also be taken as part of the underlying logic or as an equivalence relation requiring, like "coincide," careful prior definition. 5 is a principle of mereology. "Whole", "part", and "remainder" beg for precise definitions.
In the 19th century, it was realized that Euclid's ten axioms and common notions do not suffice to prove all of theorems stated in the Elements. For example, Euclid assumed implicitly that any line contains at least two points, but this assumption cannot be proved from the other axioms, and therefore needs to be an axiom itself. The very first geometric proof in the Elements, shown in the figure on the right, is that any line segment is part of a triangle; Euclid constructs this in the usual way, by drawing circles around both endpoints and taking their intersection as the third vertex. His axioms, however, do not guarantee that the circles actually intersect, because they are consistent with discrete, rather than continuous, space. Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert, George Birkhoff, and Tarski.
To be fair to Euclid, the first formal logic capable of supporting his geometry was that of Frege's 1879 Begriffsschrift, little read until the 1950s. We now see that Euclidean geometry should be embedded in first-order logic with identity, a formal system first set out in Hilbert and Wilhelm Ackermann's 1928 Principles of Theoretical Logic. Formal mereology began only in 1916, with the work of Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski and his students did major work on the foundations of elementary geometry as recently as between 1959 and his death in 1983.
Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Geometri Euclid
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematika Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang pertama mengenai geometri. Ini sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan metode yang mempunyai kandungan matematika. Metode yang mengandung anggapan satu set aksioma secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudian membuktikan banyak usul (teorema-teorema) daripada aksioma-aksioma tersebut. Walaupun banyak hasil dari Euclid sudah dikemukakan oleh ahli-ahli matematika Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang pertama yang menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logika yang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri bidang, yang masih diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioma dan sebagai contoh pembuktian formal yang pertama. Elements menuju pada geometri pejal dalam dimensi tiga, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan Elements menyatakan hasil dalam apa yang kini disebut sebagai teori bilangan, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif "Euclid" tidak diperlukan karena pada masa itu tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma-aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas sehinga pembuktian teorema lainnya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun juga, banyak geometri non Euclid lain telah diketahui, yang pertama telah ditemukan pada awal abad ke-19. Ini juga tidak boleh dianggap mudah bahwa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fisik. Sebuah implikasi dari teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahwa geometri Euclid merupakan sebuah tafsiran terhadap sifat-sifat dari ruang fisik, hanya apabila medan gravitasi tidak terlalui kuat.
Pendekatan aksioma
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem aksioma, dimana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil dari satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksioma):
1. Ada dua titik dapat dihubungkan menjadi satu garis lurus.
2. Ada segmen garis lurus dapat dipanjangkan tak terhingga di dalam satu garis lurus.
3. Diberikan segmen garis lurus, satu lingkaran dapat dilukis dengan menggunakan segmen garis lurus tersebut sebagai jari-jari dan titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut siku-siku adalah kongruen.
5. Postulat kesejajaran. Jika dua garis berpotongan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalam adalah kurang dari satu lagi, maka dua garis ini pasti berpotongan satu sama lain apabila diperpanjang secukupnya.
Aksioma-aksioma ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, garis lurus dan garis, sebagian dari ruas garis, lingkaran dengan jari-jari dan pusat, sudut siku-siku, kekongruenan, sudut-sudut dalam dan siku-siku, jumlah. Hal tersebut memuncukanl: gabungan, perpanjangngan, pelukisan, perpotongan. Lingkaran ini digambarkan pada postulat 3 sangat unik. Postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri bidang; dalam dimensi tiga, postulat 3 mendefinisikan suatu bola.
Sebuah bukti dari buku Euclid "Elements" bahwa apabila diberikan satu segmen garis, satu segitiga sama sisi termasuk segmen garis sebagai salah satu dari tiga sisi. Buktinya adalah dengan mengkonstruksi satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε, berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu perpotongan pada lingkaran sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 dibawa kepada geometri yang sama seperti penyataan berikut, yang dikenal sebagai Aksioma Playfair, yang hanya berlaku pada bidang itu.
Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, hanya ada satu garis yang dapat dilukis, yang tidak mungkin bertemu dengan garis yang diberikan tersebut.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan tidak lepas dari satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam pengertian ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksioma modern lainnya seperti teori set, dimana sering menegaskan keberadaan objek-objek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek-objek yang tidak dikonstruksi dengan teorimtersebut.
Sebenarnya, konstruksi garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model dari objek yang lebih baik didefinisikan dari sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek tersebut. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi ada garis yang dapat digambar menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":
1. Sesuatu yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan setara, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara dikurangkan setara, maka sisanya juga adalah setara.
4. Sesuatu yang bertepatan dengan satu sama lain juga setara antara satu sama lain.
5. Jumlah keseluruhan adalah lebih besar daripada bagiannya.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan jarak. 1 adalah satu-satunya bagian dari dasar logika yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetika"; perhatikan bahwa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini berarti diberi dan diambil. 1 hingga 4 secara operasional mempunyai persamaan, dimana boleh juga diambil sebagai bagian dasar logika atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertepatan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah sebuah prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebagian", dan ”sisa" memerlukan definisi yang tepat.
Pada abad ke-19, hal tersebut mengingatkan bahwa 10 aksioma Euclid dan notasi-notasi yang umum tidak mencukupi untuk membuktikan pernyataan dari semua teorema pada Elements. Contohnya, secara implisit Euclid mengansumsikan bahwa sebuah garis disusun setidaknya dari 2 titik, tetapi asumsi ini tidak bisa dibuktikan dari aksioma yang lainnya. Dan oleh karena itudiperlukan menjadi aksioma tersendiri. Bukti geometri yang paling pertama dalam Element, ditunjukkan dalam ambar pada siku-siku, bahwa setiap segmen garis adalah bagian dari segitiga; Euclid menyusun hal ini dengan cara biasa, dengan menggambar lingkaran-lingkaran disekitar titik-titik ujung dan mengambil garis potongnya sebagai ketiga vertex. Bagaimanapun aksiomanya tidak dapat menjamin bahwa lingkaran-lingkaran tersebut secara tepat berpotongan, karena keduanya berlainan, daripada berkelanjutan, ruang. Dimulai dengan Moritz Pasch tahun 1882, banyak sistem aksioma diperbaiki untuk geometri telah diusulkan, yang paling dikenal dari Hilbert, George Birkhoff, dan Tarski.
Keadilan untuk Euclid, logika formal yang pertama mampu mendukung geometrinya yang ada pada Frege’s tahun 1879 Begriffsschrif, sedikit dibaca sampai tahun 1950an. Kita sekarang tahu bahwa geometri Euclid selayaknya terkandung diorder logika pertama dengan identitas, sebuah sistem formal dikeluarkan pertama kali di Hilbert dan Wilhelm Ackermann tahun 1928 prinsip dari teori logika. Mereologi formal dimulai pada tahun1916, oleh Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski dan muridnya bekerja pada dasar dari geometri dasar yang baru-baru ini antara tahun 1959 dan beliau meninggal pada tahun 1983.
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Representing the video of learning mathematics
13. The figure above shows the graph of y=g(x). If the function h is defined by h(x) = g(2x) + 2, what is the value of h(1) ?
We are looking for h(1)
The function is h(x) = g(2x) + 2
loking for h(1), substitute 1 to the equation, we get h(1) = g(2) + 2
While in the figure, shows that value y in g(2) is 1.
So, if we substitute g(2) as 1, we get h(1) = 1+2
= 3
13. Let the function f be defined by f(x) = x+1
If 2 times f(p) = 20, what is the value of f(3p) ?
f(3p) what is f when x = 3p?
In here we have two equations, there are f(x) =x+1 and 2f(p) = 20
We can dividing the equation 2f(p) = 20 by 2. So we get f(p) = 10.
And then assuming x equal p, from the equation f(x) = x+1 we get equation f(p) = p+1.
Then we can substitute value of f(p) to equation f(p) = p+1
f(p) = p+1
10 = p+1
so we get p = 9
we are looking for f when x = 3p, so we get x = 27
and we get f(27) = 27 + 1 = 28.
17. in the xy-coordinate plane, the graph of x = y2 - 4
Intersect line l at coordinate (0,p) and (5,t) . What is the greatest possible value of the slope of l ?
We will looking for greatest solpe (m)
x = y2 – 4 intersect line l
x y
0 p
5 t
We know te slope of line l is m = y_(2- y_1 )/x_(2- x_1 )
We have the value of (x1,y1) = (0,p) and (x2,y2) = (5,t)
So, the slope of the line l is m = (t-p)/5
Video 2
Factoring polynomials
When we the find factor polynomial is true follow Algebraic long division
For example x-3 is factor of x^3-7x-6
We can get that statement with operate x^3-7x-6 divide by x-3
First, select the problem long division problem there is x^3+0x^2-7x-6
Then operate x^3 divide x. we get x^2. Then multiply x^2 with x-3 so we get x^3-3x^2. Subtract x^3+0x^2-7x-6 with x^3-3x^2. Ringing down the therm 7x we get 3x^2-7x. And then we look first therm , 3x^2 divide x we get 3x. multiply 3x with x-3, we get 3x^2-9x. 3x^2-7z subtract by 3x^2-9x we get 2x. Ringing down the therm 6 we get 2x-6. 2x-6 devide x we get 2, then multiply 2 with x-3 we get 2x-6. Then 2x-6 subtract 2x-6 no remainder. The solution of the long division problem x3-7x-6 devide by x-3 is x^2+3x+2.
Since x^3-7x-6 devide by x-3 is no remainder, so x-3 is a factor of x^3-7x-7. The cloution wich is x^2+3x+2 is also a factor of x^3-7x-6. We now know x^3-7x-6 equals x-s times x^2+3x+2 . and x^2+3x+2 can be factor into x+1 times x+2. So x^3-7x-6 equals x-3 times x+1 times x+2. Sading the factor for the equation x^3-7x-6 into zero, we get 0 equals x-3 times x+1 times x+2. Then x-3 equal 0, or x+1 equal 0, or x+2 equal 0. Solving all the equation for x we get x equal 3, x equal -1, and x equal -2.
So, we can conclude that the roots of x^3-7x-6 are 3, -1, and -2.
3 roots for 3th degree equation, quadratic (2th egree) equation always have at most 2 roots. A 4th degree equation would have 4or fewer roots
The degree of polynomial equation always limit the number of roots
Long division for a 3rd order polynomial :
Find a partial quotient of x^2, by dividing x into x3 to get x2.
Multiply x^2 by the divisor & subtract the product from the dividend.
Repeat the process until you either “clear it out” or reach a remainder.
Video 3
Pre – Calculus
Graph of a rational function
Which can have discontinuities because the graph of a rational function has a polynomial in the denominator.
Is possible same valuer x devide by 0
Example :
f(x) = (x+2)/(x-1)
when x=1 the function value become (1+2)/(1-1)
we get f(1) = 3/0 it is a bad idea.
Graph f(1) = (1+2)/0 is break in function graph
f(x) = (x+2)/(x-1) insert 0 become f(x) = (0+2)/(0-1) = -2
f(x) = (x+2)/(x-1) insert 1 become f(x) = (1+2)/(1-1) = 3/0 is imposible
rational function don’t always work this way
take graph f(x) = 1/(x^2+1)
not all rational functions will give zero in denominator because of the +1 (never zero)
rational functions denominator can be zero
polynomial have smooth andf unbroken curve and for rational function
x zero in the denominator that impossible situation
a break can show up in two ways. A simply type break is missing point on the graph
example :
y = (x^2-x-6)/(x-3) in the graph look like break
if x = 3 we get (3^2-3-6)/(3-3) = 0/0 that is not possible, not feasible, not allowed
so that is no way for x = 3, this is a typical example to the missing point syndrom
y = (3^2-3-6)/(3-3) = 0/0
when you see result of 0/0 and also tell you direction be possible.
Factor top and bottom of rational function and simplify y
for example : y = (x^2-x-6)/(x-3)
= ((x-3)(x+2))/(x-3)
= x + 2
Video 4
Inverse function
F(x,y) = 0
Function y = f(x) is Vertical Line Test
Function x = g(y) is Horizontal Line Test : invertible
For example:
y = x2
x = g(y) : Horizontal Line : Invertible
if we draw the graph of function y = x2
from the 1 function so in the graph intersect horizontal line in two points.
y = 2x -1
if we draw graph of function y = 2x -1 in coordinate xy in points ( 0,-1 )
and ( 1/( 2),0 ) then draw graph of the function y = x
from the two functions,
substitute y = x to y = 2x-1
x = 2x-1
x + 1 = 2x
1 = x
From the function 2x -1 = y we get 2x = y + 1
x = 1/2 (y + 1)
x = 1/2 y + 1/2
change x become y so we get new function y = 1/2 x + 1/2
draw graph of y = 1/2 x + 1/2 through ( 0, -1) and ( 0, 1/2 )
so invers line y = 2x -1 in line y = x is y = 1/2 x + 1/2
from all that we calculate above, we get:
f(x) = 2x – 1
g(x) =
f( g(x) ) we substitute g(x) to variable on the function f.
g( f(x) ) we substitute f(x) to variable on the function g.
f ( g(x) ) = 2 ( g(x) ) - 1
f ( g(x) ) = 2( - 1
f ( g(x) ) = x + 1 – 1
f ( g(x) ) = x
g ( f(x) ) =
g ( f(x) ) = )
g ( f(x) ) = x
g =
f ( g(x) ) = f ( (x) ) = x
g( f(x) ) = f ( (x) ) = x
Method 2 find y^-1
y ( x+2 ) = x - 1
xy + 2y = x – 1
xy – x = -1 -2y
x ( y – 1 ) = -1 -2y
x = (-1-2y)/(y-1)
so y^-1 = (-1-2x)/(x-1)
We are looking for h(1)
The function is h(x) = g(2x) + 2
loking for h(1), substitute 1 to the equation, we get h(1) = g(2) + 2
While in the figure, shows that value y in g(2) is 1.
So, if we substitute g(2) as 1, we get h(1) = 1+2
= 3
13. Let the function f be defined by f(x) = x+1
If 2 times f(p) = 20, what is the value of f(3p) ?
f(3p) what is f when x = 3p?
In here we have two equations, there are f(x) =x+1 and 2f(p) = 20
We can dividing the equation 2f(p) = 20 by 2. So we get f(p) = 10.
And then assuming x equal p, from the equation f(x) = x+1 we get equation f(p) = p+1.
Then we can substitute value of f(p) to equation f(p) = p+1
f(p) = p+1
10 = p+1
so we get p = 9
we are looking for f when x = 3p, so we get x = 27
and we get f(27) = 27 + 1 = 28.
17. in the xy-coordinate plane, the graph of x = y2 - 4
Intersect line l at coordinate (0,p) and (5,t) . What is the greatest possible value of the slope of l ?
We will looking for greatest solpe (m)
x = y2 – 4 intersect line l
x y
0 p
5 t
We know te slope of line l is m = y_(2- y_1 )/x_(2- x_1 )
We have the value of (x1,y1) = (0,p) and (x2,y2) = (5,t)
So, the slope of the line l is m = (t-p)/5
Video 2
Factoring polynomials
When we the find factor polynomial is true follow Algebraic long division
For example x-3 is factor of x^3-7x-6
We can get that statement with operate x^3-7x-6 divide by x-3
First, select the problem long division problem there is x^3+0x^2-7x-6
Then operate x^3 divide x. we get x^2. Then multiply x^2 with x-3 so we get x^3-3x^2. Subtract x^3+0x^2-7x-6 with x^3-3x^2. Ringing down the therm 7x we get 3x^2-7x. And then we look first therm , 3x^2 divide x we get 3x. multiply 3x with x-3, we get 3x^2-9x. 3x^2-7z subtract by 3x^2-9x we get 2x. Ringing down the therm 6 we get 2x-6. 2x-6 devide x we get 2, then multiply 2 with x-3 we get 2x-6. Then 2x-6 subtract 2x-6 no remainder. The solution of the long division problem x3-7x-6 devide by x-3 is x^2+3x+2.
Since x^3-7x-6 devide by x-3 is no remainder, so x-3 is a factor of x^3-7x-7. The cloution wich is x^2+3x+2 is also a factor of x^3-7x-6. We now know x^3-7x-6 equals x-s times x^2+3x+2 . and x^2+3x+2 can be factor into x+1 times x+2. So x^3-7x-6 equals x-3 times x+1 times x+2. Sading the factor for the equation x^3-7x-6 into zero, we get 0 equals x-3 times x+1 times x+2. Then x-3 equal 0, or x+1 equal 0, or x+2 equal 0. Solving all the equation for x we get x equal 3, x equal -1, and x equal -2.
So, we can conclude that the roots of x^3-7x-6 are 3, -1, and -2.
3 roots for 3th degree equation, quadratic (2th egree) equation always have at most 2 roots. A 4th degree equation would have 4or fewer roots
The degree of polynomial equation always limit the number of roots
Long division for a 3rd order polynomial :
Find a partial quotient of x^2, by dividing x into x3 to get x2.
Multiply x^2 by the divisor & subtract the product from the dividend.
Repeat the process until you either “clear it out” or reach a remainder.
Video 3
Pre – Calculus
Graph of a rational function
Which can have discontinuities because the graph of a rational function has a polynomial in the denominator.
Is possible same valuer x devide by 0
Example :
f(x) = (x+2)/(x-1)
when x=1 the function value become (1+2)/(1-1)
we get f(1) = 3/0 it is a bad idea.
Graph f(1) = (1+2)/0 is break in function graph
f(x) = (x+2)/(x-1) insert 0 become f(x) = (0+2)/(0-1) = -2
f(x) = (x+2)/(x-1) insert 1 become f(x) = (1+2)/(1-1) = 3/0 is imposible
rational function don’t always work this way
take graph f(x) = 1/(x^2+1)
not all rational functions will give zero in denominator because of the +1 (never zero)
rational functions denominator can be zero
polynomial have smooth andf unbroken curve and for rational function
x zero in the denominator that impossible situation
a break can show up in two ways. A simply type break is missing point on the graph
example :
y = (x^2-x-6)/(x-3) in the graph look like break
if x = 3 we get (3^2-3-6)/(3-3) = 0/0 that is not possible, not feasible, not allowed
so that is no way for x = 3, this is a typical example to the missing point syndrom
y = (3^2-3-6)/(3-3) = 0/0
when you see result of 0/0 and also tell you direction be possible.
Factor top and bottom of rational function and simplify y
for example : y = (x^2-x-6)/(x-3)
= ((x-3)(x+2))/(x-3)
= x + 2
Video 4
Inverse function
F(x,y) = 0
Function y = f(x) is Vertical Line Test
Function x = g(y) is Horizontal Line Test : invertible
For example:
y = x2
x = g(y) : Horizontal Line : Invertible
if we draw the graph of function y = x2
from the 1 function so in the graph intersect horizontal line in two points.
y = 2x -1
if we draw graph of function y = 2x -1 in coordinate xy in points ( 0,-1 )
and ( 1/( 2),0 ) then draw graph of the function y = x
from the two functions,
substitute y = x to y = 2x-1
x = 2x-1
x + 1 = 2x
1 = x
From the function 2x -1 = y we get 2x = y + 1
x = 1/2 (y + 1)
x = 1/2 y + 1/2
change x become y so we get new function y = 1/2 x + 1/2
draw graph of y = 1/2 x + 1/2 through ( 0, -1) and ( 0, 1/2 )
so invers line y = 2x -1 in line y = x is y = 1/2 x + 1/2
from all that we calculate above, we get:
f(x) = 2x – 1
g(x) =
f( g(x) ) we substitute g(x) to variable on the function f.
g( f(x) ) we substitute f(x) to variable on the function g.
f ( g(x) ) = 2 ( g(x) ) - 1
f ( g(x) ) = 2( - 1
f ( g(x) ) = x + 1 – 1
f ( g(x) ) = x
g ( f(x) ) =
g ( f(x) ) = )
g ( f(x) ) = x
g =
f ( g(x) ) = f ( (x) ) = x
g( f(x) ) = f ( (x) ) = x
Method 2 find y^-1
y ( x+2 ) = x - 1
xy + 2y = x – 1
xy – x = -1 -2y
x ( y – 1 ) = -1 -2y
x = (-1-2y)/(y-1)
so y^-1 = (-1-2x)/(x-1)
Langganan:
Postingan (Atom)
