My name is Erna Apriliana, usually called Erna and number ID 07305141011. I want to tell about my experience with my friend. My friend is Zulvina Tri Susanti. I had explained about Heating and Cooling of Building.
I choose topic “Heating and Cooling of Building”, because I was inspirited by study about Linear Equation in Differential Equation. From that topic, we can know to determine the building temperature.
Three main factors affecting the temperature inside the building. The first factor is the heat produced by people, lights, and machines inside the building. This causes a rate of increase in temperature that we will denote by H(t). The second factor is the heating or cooling supplied by the furnace (or air conditioning). This rate of increase or decrease in temperature we will by U(t).
In general, the additional heating rate H(t) and the furnace (or air conditioning) rate U(t) are described in terms of energy per unit time. The third factor is the effect of the outside temperature M(t) on the temperature inside the building. This is known as Newton’s Law of cooling, which states that there is a rate of change in temperature T(t) that is proportional to the difference between the outside temperature M(t) and the inside temperature T(t). That is, the rate of change in the building temperature due to M(t) is :
dT(t) / dt = K [ M(t) – T(t) ]
the positive constant K depends on the physical properties of the building, but K does not depends on M, T, or t. When the outside temperature is grater than the inside temperature, then M(t) - H(t) > 0, and there is an increase in the rate of change of the building temperature due to M(t). When the outside temperature is less than the inside temperature, then M(t) - H(t) < 0, and there is an decrease in the rate of change.
Summarizing, we find
(1) dT(t) / dt = K [ M(t) – T(t) ] + H(t) +U(t)
Where the additional heating rate H(t)
is always non negative and U(t is positive for nace heating and negative for air conditioner cooling.
Equation (1) is linear, it can be solved using the method with standards form
(2) dT(t) / dt + P(t)T(t) = Q(t)
where P(t) = K
(3) Q(t) = KM(t + H(t) + U(t)
We find that the integrating factor is
Μ(t) = exp ( ∫ K dt ) = e^Kt
To solve (2), multiply each side by e^Kt and integrate:
e^Kt dT(t) / dt + K e^Kt P(t)T(t) = e^Kt Q(t)
e^Kt T(t) = ∫ e^Kt Q(t) dt + C
solving for T(t) gives
(4) T(t) = e^-Kt ∫ e^Kt Q(t) dt + C e^-Kt
= e^-Kt {∫ e^Kt [ KM(t) + H(t) + U(t) ] dt + C}
In this process, I don’t have any troubles to explain that. Santi could understand what I had explained. To make sure that she has understood, I gave her question like this :
For example, at the end of the day (at time t0), when people leave the building, the outside temperature stays constant at M0, the additional heating rate H inside the building is zero, and the air conditioner rate U is zero. Determine T(t), the initial condition T(t0) = T0
And her result is :
M = M0, H = 0, U = 0
From equqtion (4) she found :
T(t) = e^-Kt {∫ e^Kt [ KM(t) + H(t) + U(t) ] dt + C}
= e^-Kt {∫ e^Kt [ KM(t) + 0+ 0 ] dt + C}
= e^-Kt {∫ e^Kt [ KM(t) ] dt + C}
= e^-Kt [ M0 e^Kt + C ]
= M0 + C e^-Kt
That was my experience of studying English 2 with the lecturer is Mr. Marsigit, MA. I’m feel so exciting.
Kamis, 15 Januari 2009
video
VIDEO 1
A. GRAMMAR
Jenis / tipe kalimat yang paling dasar adalah kalimat sederhana . Karena semua elemen atau bagian didalam kalimat merupakan bagian dari subyek atau predikat.
Subyek kalimat adalah bagian yang melakukan atau mengerjakan tindakan dari kata kerja utama.
Subyek sederhana adalah kata benda tertentu ( spesifik ) yang menampilkan atau melakukan tindakan.
Sebagai contoh :
Anak kecil yang bahagia menendang boneka kerdil melewati pagar.
Anak adalah kata benda yang melakulan tindakan yaiti mrnrndang.
Anak adalah subyek sederhana.
Karena kecil, bahagia melekat pada anak maka,
Anak kecil yang bahagia disebut subyek komplit.
“Kalimat sederhana”
Predikat suatu kalimat terdiri atas :
Kata kerja utama + Segala sesuatu yang berkaitan dengannya.
(predikat sederhana)
Segala sesuatu tadi yang bukan merupakan bagian dari subyek.
Keseluruhan dari kata kerja utama + Segala sesuatu yang berkaitan dengannya tersebut disebut Predikat komplit.
- Predikat
Anak kecil yamg bahagia menedang boneka kerdil melewati pagar.
* Menendang adalah predikat sederhana
* Boneka kerdil adalah apa yang ditendang
* Melewati pagar adalah menerangkan dmana menendang.
Ketiganya diatas merupakan predikat komplit.
Jadi dalam kalimat :
Anak kecil yang bahagia :Subyek komplit/lengkap
Menendang boneka kerdil melewati pagar : Predikat komplit / lengkap.
Kadang-kadang kalimat sederhana dapat diperoleh tanpa sebuah subyek atau predikat.
Kalimat peringkat adalah kalimat yang ditujukan terhadap orang kedua yaitu “kamu”.
Kata “kamu” keluar dari kalimat dan hanya tersamar kalimat perintah ( contoh ) :
Tendang boneka kerdil iu melewati pagar.
* Tendang :Predikat sederhana
* Tendang boneka kerdil iu melewati pagar :Predikat lengkap
Subyeknya dimana? Tidak ada
Jika aku memerintah kamu, tendang boneka kerdil itu melewati pagar.
Siapa yang harus melakukannya ? Ya, kamu.
Sebenarnya kalimar begini. “Hei, kamu, tendang boneka kerdil itu melewati pagar.”
Subyek “kamu” tersamar.
Siapa yang menendang boneka kerdil itu melewati pagar ? Cindy * Cindy :Predikat yang tersamar
Cindy hanyalah satu kata.
Dapat dikatakan dalam kalimat lain adalah :
“Cindy,tendang boneka kerdil itu melewati pagar.”
B. Frase dan Obyek
Video 2 ( kata kerja )
Apakah kata kerja itu?
Kata kerja adalah suatu kata yang menunjukkan tindakan atau mendeskripsikan keadaan sesuatu apa yang kata benda dan kata ganti sedang lakukan.
Kata kerja merupakan salah satu bagian terpenting dalam kalimat.
Contoh kalimat pendek :
Dave berlari
Kata kerja, karena menunjukkan apa yang dilakukan Dave
Apa yang Dave lakukan? Ia berlari.
Dalam Grammar Bahasa Inggris, kata kerja mengubah bentuk untuk menunjukkan siapa yang melakukan tindakan.
Siapa yang melakukan tindakan?
I do, You do, he does, we do, they do.
• I run
• You run
• He run
• She run
• It run
• We run
• They run
Apa yang barusan diatas adalah mengambil sebuah kata kerja dan melihat bagaimana itu berubah dengan subyek yang berbeda. Itu adalah hubungan
Kata kerja –to be
Kita mengatakan :
• I am
• You are
• He is
• She is
• It is
• We are
• They are
I,you,he,she,it = kata ganti dan merupakan subyek dan merupakan subyek tunggal. Hanya ada satu kata benda.
We,they = subyek jamak kata benda yang mempunyai lebih dari satu anggota.
Kata benda tunggal memakai kata kerja tunggal.
Kata kerja jamak memakai kata kerja jamak.
Mrs. Midori Yodels.
Yodels adalah bentuk dari yodel yang diguna.
Saudara- saudara Midori = else, gretel, hera
Saudara- saudara Midori = kata-kata jamak, sehingga menggunakan kata kerja jamak.
The Midori sisters Yodel
Yodel = bentuk jamak dari Yodel
Petunjuk Grammar :
Kata benda tunggal memakai kata kerja tunggal.
Kata benda jamak mengubah bentuk tergantung pada point dalam waktu apa tindakan itu terjadi.
Kita menyebut perubahan ini dengan sebutan “Tense”
Video 3 ( Kata Keterangan)
Kata keterangan adalah kata yang menjelaskan atau menerangkan kata kerja dan juga bisa menerangkan kata sifat, dan kata keterangan yang lain.
Jika kita menjawab pertanyaan :
• Bagaimana?
• Sebagaimana sering?
• Kapan?
• Atau Untuk apa meluas?
Kamu dapat menggunakan kata keterangan
Kata Sifat + Ly
Contoh :
Sebagai pembicara, Simon seharusnya pelan, tapi dia berbicara dengan lambat.
(slowly)
Slow menjelaskan Simon “ slow ” = kata sifat
Slowly menjawab “Bagaimana Simon berbicara? ”
Slowly = kata keterangan
Slow + ly = kata keterangan
Contoh:
The color of this mushrooms is slightly different.
Slight + Ly =kata keterangan untuk menjelaskan kata different.
Contoh :
This mushrooms is very definitely poisonous.
very : Kt.ket, definitely : Kt.ket, poisonous :Kt.sifat
Very adalah kata keterangan yang menjelaskan kata keterangan lain.
Very tanpa akhiran Ly, suatu pengecualian.
Good atau Well mana kata keterangan?
Menjawab bagaimana?
Menjwab dengan kata keterangan = menggunakan “ well ”
Candace can play the accordion very well.
well : Kata keterangan dari bentuk good
Candace’s playing is good.
Good menjelaskan kata kata playing.
Playing disini adalah Gerund.
Gerund adalah kata kerja dalam bentuk –ing digunakan sebagai kata benda dalam kalimat.
Karena yang diterangkan kata benda, kita menggunakan kata sifat “ Good ”
Video 4 ( Trigonometri )
It is from ancient treet and can means triangle and meter. All Trigonometri is related to study a right triangle & relationship between the sides and the angle of the right triangle.
Let’s start with a right triangle.
With the sides of 3, 4, 5 and the hypotenuse hypotenuse : 5
adjacent:3
opposite : 4
Want to define Sin θ ?
You can see
Son can toa
Sin is opposite over hypotenuse
Cos is adjacent over hypotenuse
Tan is opposite over adjacent
Sin∂ = Opp / Hyp
The opposite side of θ I 4
The hypotenuse is the longest side of triangle ( right triangle)
So,
Sin θ ………?
Sin θ = opp / hyp
= 4 / 5
By the reasoning the figure, you can see that the adjacent side is 3 (because 4 is opposite side of θ ) and 5 is the hypotenuse.
Cos θ …….?
Cos θ = adj / hyp
= 3 / 5
What is the Tan θ…….?
Tan θ = opp / adj
= 3 / 4
So, The Tan θ is equal 4 / 3
Video 5 Compound sentences ( Kalimat Majemuk )
It’s the end of the world as we know it and I feel fine
* Ada 2 klausa yang dihubungkan dengan 1 kata penghubung ( and )
* Ketika suatu kalimat digunakan sebagai bagian-bagian dalam kalimat yang lebih besar, maka kalimat yang lebih kecil tersebut disebut klausa.
* Ketika sebuah klausa dapat berdiri sendiri dalam sebuah kalimat maka, klausa tersebut disebut “ Independent clause ”
* Jika kita memiliki 2 klausa dalam 1 kalimat maka, kalimat itu disebut majemuk.
* Untuk menggabungkan 2 Independent clause,
Kita menggunakan =
* Titik dua ( : ) , ketika klausa ke-2 menjelaskan klausa ke-1,
“ I love my two sister’s, they bake me pie”
Untuk menggabungkan kalimat menjadi kalimat majemuk kita gunakan titik dua ( : )
* Titik koma ( ; ) , untuk menggantikan konjungsi.
“It’s the end of the world and I feel fine. ”
A. GRAMMAR
Jenis / tipe kalimat yang paling dasar adalah kalimat sederhana . Karena semua elemen atau bagian didalam kalimat merupakan bagian dari subyek atau predikat.
Subyek kalimat adalah bagian yang melakukan atau mengerjakan tindakan dari kata kerja utama.
Subyek sederhana adalah kata benda tertentu ( spesifik ) yang menampilkan atau melakukan tindakan.
Sebagai contoh :
Anak kecil yang bahagia menendang boneka kerdil melewati pagar.
Anak adalah kata benda yang melakulan tindakan yaiti mrnrndang.
Anak adalah subyek sederhana.
Karena kecil, bahagia melekat pada anak maka,
Anak kecil yang bahagia disebut subyek komplit.
“Kalimat sederhana”
Predikat suatu kalimat terdiri atas :
Kata kerja utama + Segala sesuatu yang berkaitan dengannya.
(predikat sederhana)
Segala sesuatu tadi yang bukan merupakan bagian dari subyek.
Keseluruhan dari kata kerja utama + Segala sesuatu yang berkaitan dengannya tersebut disebut Predikat komplit.
- Predikat
Anak kecil yamg bahagia menedang boneka kerdil melewati pagar.
* Menendang adalah predikat sederhana
* Boneka kerdil adalah apa yang ditendang
* Melewati pagar adalah menerangkan dmana menendang.
Ketiganya diatas merupakan predikat komplit.
Jadi dalam kalimat :
Anak kecil yang bahagia :Subyek komplit/lengkap
Menendang boneka kerdil melewati pagar : Predikat komplit / lengkap.
Kadang-kadang kalimat sederhana dapat diperoleh tanpa sebuah subyek atau predikat.
Kalimat peringkat adalah kalimat yang ditujukan terhadap orang kedua yaitu “kamu”.
Kata “kamu” keluar dari kalimat dan hanya tersamar kalimat perintah ( contoh ) :
Tendang boneka kerdil iu melewati pagar.
* Tendang :Predikat sederhana
* Tendang boneka kerdil iu melewati pagar :Predikat lengkap
Subyeknya dimana? Tidak ada
Jika aku memerintah kamu, tendang boneka kerdil itu melewati pagar.
Siapa yang harus melakukannya ? Ya, kamu.
Sebenarnya kalimar begini. “Hei, kamu, tendang boneka kerdil itu melewati pagar.”
Subyek “kamu” tersamar.
Siapa yang menendang boneka kerdil itu melewati pagar ? Cindy * Cindy :Predikat yang tersamar
Cindy hanyalah satu kata.
Dapat dikatakan dalam kalimat lain adalah :
“Cindy,tendang boneka kerdil itu melewati pagar.”
B. Frase dan Obyek
Video 2 ( kata kerja )
Apakah kata kerja itu?
Kata kerja adalah suatu kata yang menunjukkan tindakan atau mendeskripsikan keadaan sesuatu apa yang kata benda dan kata ganti sedang lakukan.
Kata kerja merupakan salah satu bagian terpenting dalam kalimat.
Contoh kalimat pendek :
Dave berlari
Kata kerja, karena menunjukkan apa yang dilakukan Dave
Apa yang Dave lakukan? Ia berlari.
Dalam Grammar Bahasa Inggris, kata kerja mengubah bentuk untuk menunjukkan siapa yang melakukan tindakan.
Siapa yang melakukan tindakan?
I do, You do, he does, we do, they do.
• I run
• You run
• He run
• She run
• It run
• We run
• They run
Apa yang barusan diatas adalah mengambil sebuah kata kerja dan melihat bagaimana itu berubah dengan subyek yang berbeda. Itu adalah hubungan
Kata kerja –to be
Kita mengatakan :
• I am
• You are
• He is
• She is
• It is
• We are
• They are
I,you,he,she,it = kata ganti dan merupakan subyek dan merupakan subyek tunggal. Hanya ada satu kata benda.
We,they = subyek jamak kata benda yang mempunyai lebih dari satu anggota.
Kata benda tunggal memakai kata kerja tunggal.
Kata kerja jamak memakai kata kerja jamak.
Mrs. Midori Yodels.
Yodels adalah bentuk dari yodel yang diguna.
Saudara- saudara Midori = else, gretel, hera
Saudara- saudara Midori = kata-kata jamak, sehingga menggunakan kata kerja jamak.
The Midori sisters Yodel
Yodel = bentuk jamak dari Yodel
Petunjuk Grammar :
Kata benda tunggal memakai kata kerja tunggal.
Kata benda jamak mengubah bentuk tergantung pada point dalam waktu apa tindakan itu terjadi.
Kita menyebut perubahan ini dengan sebutan “Tense”
Video 3 ( Kata Keterangan)
Kata keterangan adalah kata yang menjelaskan atau menerangkan kata kerja dan juga bisa menerangkan kata sifat, dan kata keterangan yang lain.
Jika kita menjawab pertanyaan :
• Bagaimana?
• Sebagaimana sering?
• Kapan?
• Atau Untuk apa meluas?
Kamu dapat menggunakan kata keterangan
Kata Sifat + Ly
Contoh :
Sebagai pembicara, Simon seharusnya pelan, tapi dia berbicara dengan lambat.
(slowly)
Slow menjelaskan Simon “ slow ” = kata sifat
Slowly menjawab “Bagaimana Simon berbicara? ”
Slowly = kata keterangan
Slow + ly = kata keterangan
Contoh:
The color of this mushrooms is slightly different.
Slight + Ly =kata keterangan untuk menjelaskan kata different.
Contoh :
This mushrooms is very definitely poisonous.
very : Kt.ket, definitely : Kt.ket, poisonous :Kt.sifat
Very adalah kata keterangan yang menjelaskan kata keterangan lain.
Very tanpa akhiran Ly, suatu pengecualian.
Good atau Well mana kata keterangan?
Menjawab bagaimana?
Menjwab dengan kata keterangan = menggunakan “ well ”
Candace can play the accordion very well.
well : Kata keterangan dari bentuk good
Candace’s playing is good.
Good menjelaskan kata kata playing.
Playing disini adalah Gerund.
Gerund adalah kata kerja dalam bentuk –ing digunakan sebagai kata benda dalam kalimat.
Karena yang diterangkan kata benda, kita menggunakan kata sifat “ Good ”
Video 4 ( Trigonometri )
It is from ancient treet and can means triangle and meter. All Trigonometri is related to study a right triangle & relationship between the sides and the angle of the right triangle.
Let’s start with a right triangle.
With the sides of 3, 4, 5 and the hypotenuse hypotenuse : 5
adjacent:3
opposite : 4
Want to define Sin θ ?
You can see
Son can toa
Sin is opposite over hypotenuse
Cos is adjacent over hypotenuse
Tan is opposite over adjacent
Sin∂ = Opp / Hyp
The opposite side of θ I 4
The hypotenuse is the longest side of triangle ( right triangle)
So,
Sin θ ………?
Sin θ = opp / hyp
= 4 / 5
By the reasoning the figure, you can see that the adjacent side is 3 (because 4 is opposite side of θ ) and 5 is the hypotenuse.
Cos θ …….?
Cos θ = adj / hyp
= 3 / 5
What is the Tan θ…….?
Tan θ = opp / adj
= 3 / 4
So, The Tan θ is equal 4 / 3
Video 5 Compound sentences ( Kalimat Majemuk )
It’s the end of the world as we know it and I feel fine
* Ada 2 klausa yang dihubungkan dengan 1 kata penghubung ( and )
* Ketika suatu kalimat digunakan sebagai bagian-bagian dalam kalimat yang lebih besar, maka kalimat yang lebih kecil tersebut disebut klausa.
* Ketika sebuah klausa dapat berdiri sendiri dalam sebuah kalimat maka, klausa tersebut disebut “ Independent clause ”
* Jika kita memiliki 2 klausa dalam 1 kalimat maka, kalimat itu disebut majemuk.
* Untuk menggabungkan 2 Independent clause,
Kita menggunakan =
* Titik dua ( : ) , ketika klausa ke-2 menjelaskan klausa ke-1,
“ I love my two sister’s, they bake me pie”
Untuk menggabungkan kalimat menjadi kalimat majemuk kita gunakan titik dua ( : )
* Titik koma ( ; ) , untuk menggantikan konjungsi.
“It’s the end of the world and I feel fine. ”
Jumat, 09 Januari 2009
definition of rectangle
Rectangle
This time, I would to tell you about “Rectangle”
The definition of a rectangle is quadrilateral that has four right angle, in other word the value of each angle is 90 degree.
For example : rectangle of ABCD, there are four sides : AB-BC-CD-AD
Side AB and side DC is parallel, side AC and side BD is parallel.
Side AD adnd side BC are diagonal a rectangle. Side AD is 12 cm long, side CD is 8 cm long. Determine long of side AC !
Solution :
We will determine long of side AC.
To find long of side AC we use the Pythagoras theorem because angle of ACD is a right angle.
AD^2 = AC^2 + CD^2
12^2 = AC^2 + 8^2
AC^2 = 144 – 64
= 80
AC = root of 80
= 8,94
So, long of side AC is 8,94 cm.
That’s about rectangle.
I think is enough. Thank you for your attention.
This time, I would to tell you about “Rectangle”
The definition of a rectangle is quadrilateral that has four right angle, in other word the value of each angle is 90 degree.
For example : rectangle of ABCD, there are four sides : AB-BC-CD-AD
Side AB and side DC is parallel, side AC and side BD is parallel.
Side AD adnd side BC are diagonal a rectangle. Side AD is 12 cm long, side CD is 8 cm long. Determine long of side AC !
Solution :
We will determine long of side AC.
To find long of side AC we use the Pythagoras theorem because angle of ACD is a right angle.
AD^2 = AC^2 + CD^2
12^2 = AC^2 + 8^2
AC^2 = 144 – 64
= 80
AC = root of 80
= 8,94
So, long of side AC is 8,94 cm.
That’s about rectangle.
I think is enough. Thank you for your attention.
"Rational Exponen, Form Of Root, and Logarithm"
Chapter 1
"Rational Exponen, Form Of Root, and Logarithm"
Realization of base Competence which is showed with the study result bellow.
1. Understanding and using characteristic and rule of exponen, root, and logarithm in solving problem
2. Doing algebra manipulation in technical which is related to exponen, root, and logarithm
Rainbow is nature indication which is seen at the pouring rain. When sun in our back, length of wave and frequency of rainbow color are different. Try to find out and connected with material in this chapter!
You have heard about exponential number, right?Do you know, many cases in our life which is notatined in exponential number. For example length of wave and frequency of rainbow's color. Purple wave length of rainbow is 3,9 x 10^-7 metre until 7,7 x 10^14 metre and the frequency 6,9 x 10^14 Hertz until 7,7 x 10^14 Hertz. Another example, the length of DNA string (deoxcyribonuleic acid) in a cell 10^-7 metre and average humans body consist of 10^4 cells. DNA is part of main cell which involve in protein synthetic and genetic factor. The number of 10^-7 and 10^14 are exponen numbers. Try to find out the other examples.
A. Exponential of Positive Integer
In addition there is a process sum of n-th times can be written as
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 x 3
in other case of multiplication, there is a multiplication of n-th time can be written as
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^5
3^5 is called exponential number, 3 is called main of number and 5 is called exponen.
3^5 is called three to the power of five
in general form :
if a is real number and n is positive integer number, so :
a^n = a x a x a x …x a → n times factor
a^n read “ a exponen n “ with a is called main of number and n is called exponen.
Characteristics of exponential number with positive integer exponen.
Characteristics 1 (Multiplication of Exponential Number) :
If two exponential number or more that have same main of number, so the exponen must be sum.
Example 1.1 :
Determine multiplication result bellow :
a. 5^3 x 5^4
b. 5 x 5^3
c. 13^2 x 13^5 x 13
Answer :
a. 5^3 x 5^4 = 5 (3+4) = 5 7
b. 5 x 5^3 = 5(1+3) 5 4
c. 13^2 x 13^5 x 13 = 13(2+5+1) = 138
In general form :
If a is real number and m, n are positive integer, so :
a^m x a^n = a(m+n)
Characteristics 2 (Division of Exponential Number)
If an exponential number is divided to the other exponen number that have same main of number so the exponen have to be subtracted.
Example 1.2 :
Determine division result bellow :
1. 2^3 : 2
2. 5^6 : 5^4
3. 8^7 : 8^7
Answer :
1. 2^3 : 2 = 2 (3-1)
= 2^2
= 4
2. 5^6 : 5^4 = 5(6-4)
= 5^2
= 25
3. 8^7 : 8^2 = 8(7-2)
= 8^2
In general form :
If a is real number and m,n are positive integer, so :
a^m – a^n = a(m-n)
with a ≠ 0, m > 0
Characteristics 3 (Exponen of Exponential Number)
If an exponential number exponentized to the other number, so the exponen must be multiplicated.
Example 1.3 :
Determine exponen result bellow :
1. (3^3)^2
2. (5^2)^4
3. (10^3)^7
Answer :
1. (3^3)^2 = 3^3x2
= 3^6
2. (5^2)^4 = 5^2x4
= 5^8
3. (10^3)^7 = 10^3x7
= 10^21
In general form :
If a is real number and m,n are positive integer, so :
(a^m)^n = a^mxn
Characteristics 4 (Exponen of Multiplication Number)
If the multiplication of two number or more be exponented, so eachs number must be exponented,
Example 1.4 ;
Determine exponent result bellow ;
a. (3a)^3
b. (5.6)^2
c. (xy)^5
Answer :
a. (3a)^3 = 3^3 x a^3 = 27a^3
b. (5.6)^2 = 5^2 x 6^2 = 25 x 30 = 900
c. (xy)^5 = x^5 x y^5
In general number ;
If a is real number and m is positive integer, so :
(ab)^m = a^m x b^m
Characteristics 5 (Exponen of Divide Result of Two Numbers)
If division of two numbers is exponented so eachs number must be exponented.
Example 1.5 :
Determine exponent result bellow :
1. (1/6)^2
2. (3/4)^3
3. (a/7)^2
Answer :
1. (1/6)^2 = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 1^2 / 6^2
2. (3/4)^3 = 3^3 / 4^3 = 27/64
3. (a/7)^2 = a^2 / 7^2 = a^2/49
In general form :
If a, b are real number and m is positive integer, so ;
(a/b)^m = a^m / b^m
with b ≠ 0
Exercise : 1.1
1. Simplify form bellow with using characteristics exponential number !
a. 3^2.3^3
b. 10^4.10^2
c. 8^3 : 8
d. 4^7 : 4^6
e. (2^4)^2
f. (5^3)^3
g. (2x)^4
h. (2^2.x^3.y)^3
2. Simplify form exponential bellow !
a. y^3.y^6
b. p^5 / p^3
c. (n^2)^8
d. (9^x)^3
e. b^6.b^2.b
f. e^2.e^m
g. 6^m.6^n
h. (pq)^r
i. (3a)^2
j. 7^x.7^y.7^c
k. (8^d)^2
l. e^5 : e^4
m. w^2 . w^10 : w^7
n. k^3 : k^2 : k
o. 3^c :3^d.3^2
p. 10^2.10^n
3. Simplify form bellow with using characteristics exponential number !
a. P^3.pq
b. S^3t^4.s^3t
c. m^2n / mn
d. 2k^10.3k^10
e. d^7.d^8 / d
f. 12v^6w : 4v^2
g. 4r^2t^5 / 2rt^2
h. 5xy.5^2
i. 3ab : 3^a
j. y^2z / 2.4y^3z / y
k. (3s^4r^3.2s^5t) / 8sr^3
l. h^n.h^n+1 / h^n-1
4. Write form bellow to simplest form !
a. (p^2q^2)
b. 64y^8 / (2y)^5
c. (b^3d^5)^2 / (bd^2)^3
d. 10(r^4s)^3 : (5r^2)^2
e. 10(r^4s)^3 : (5r^2)^2
f. (e(ef)^2)^3 / f
g. (3c)^4(ce)^2
h. (w^3x^2)(2wx)^2
i. (4m^2)(mn)^3 / 8m^2m
j. (v^5z)^2vz^5 / (vz)^3v^6z^3
k. (3x)^y (2x)^y
l. (a^m)^m+1 : (a^m-1 )^m
B. Exponential of Negative Integerand Nought
1. Exponential of Negative Integer
At characteristics 2, is known that a^m : a^n = a^m-n.
It only means that, if m>n. Now, we concern in this form.
a^3 / a^5 = a x a x a / a x a x a x a x a = 1/a^2; while a^3/a^5 = a^3-5
= a^-2 so, form 1/a^2 = a^-2 (form exponential negative integer)
In general form :
If a is negative integer, so a^-m = 1/a^m and 1/a^-m = a^m
Example 1.6 :
Change in to form positive exponential !
a. 2^-3
b. 1/10^-4
c. 2a^-n; a≠0
d. (a/b)^-m; a≠0, b≠0
Answer :
a. 2^-3 = 1/2^3 = 1/8
b. 1/10^-4 = 10^4 = 10000
c. 2a^-n = 2 . 1/a^n = 2/a^n
d. (a/b)^-m = 1/a^m / b^m = b^m / a^m = (b/a)^m
2. Nought Integer
If the characteristics 2, a^m : a^n = a^m-n, is exponended for m= so we got a^n : a^n = a^n-n = a^0
because a^n : a^n = a^n/a^n = a x a x……x a / a x a x….x a =1
so a^0 = 1
In general form :
If a is real number, and a≠0, so a^0 = 1
Example 1.7 :
Determine exponen result bellow !
a. 5^0
b. (-4)^0
c. (3/4)^0
d. (5q)^0; q≠0
Answer :
a. 5^0 = 1
b. (-4)^0 = 1
c. (3/4)^0 = 3^0 / 4^0 = 1/1 = 1
d. (5q)^0; q≠0 = 5^0 . q^0 = 1.1 = 1
Exercise 1.3 :
1. Simplify form exercise bellow become exponential of positive
a. 5^-1
b. 6^-2
c. 3^-2
d. 2^-4
e. 10^-3
f. (1/2)^-2
g. (1/7)^-1
h. (4/5)^-1
i. 2^-1/3^-1
j. 2^-1 . 4^-2
k. (0,5)^-1
l. (0,4)^-2
m. (0,5)^-2 / 5^-1
n. (2^2 . 4^-1)(2^-2 . 4^3)
o. 1 : 2^-2 : 3^-3
2. Determine result at form bellow !
a. 1^0
b. 3^0
c. (2/5)^0
d. (5m)^0
e. (xy)^0
f. 8q^0
g. (v^6)^0
h. (-5)^0
i. –(-x)^0
j. (k^0 + k^1)
k. 8^0 / 9^0
l. 3^0 . 0
3. Write form bellow to form exponential integer positive
a. q^-3
b. 2/c^-6
c. C^-3/d^-2
d. 2v/v^-1
e. t/pt^-4
"Rational Exponen, Form Of Root, and Logarithm"
Realization of base Competence which is showed with the study result bellow.
1. Understanding and using characteristic and rule of exponen, root, and logarithm in solving problem
2. Doing algebra manipulation in technical which is related to exponen, root, and logarithm
Rainbow is nature indication which is seen at the pouring rain. When sun in our back, length of wave and frequency of rainbow color are different. Try to find out and connected with material in this chapter!
You have heard about exponential number, right?Do you know, many cases in our life which is notatined in exponential number. For example length of wave and frequency of rainbow's color. Purple wave length of rainbow is 3,9 x 10^-7 metre until 7,7 x 10^14 metre and the frequency 6,9 x 10^14 Hertz until 7,7 x 10^14 Hertz. Another example, the length of DNA string (deoxcyribonuleic acid) in a cell 10^-7 metre and average humans body consist of 10^4 cells. DNA is part of main cell which involve in protein synthetic and genetic factor. The number of 10^-7 and 10^14 are exponen numbers. Try to find out the other examples.
A. Exponential of Positive Integer
In addition there is a process sum of n-th times can be written as
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 x 3
in other case of multiplication, there is a multiplication of n-th time can be written as
3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^5
3^5 is called exponential number, 3 is called main of number and 5 is called exponen.
3^5 is called three to the power of five
in general form :
if a is real number and n is positive integer number, so :
a^n = a x a x a x …x a → n times factor
a^n read “ a exponen n “ with a is called main of number and n is called exponen.
Characteristics of exponential number with positive integer exponen.
Characteristics 1 (Multiplication of Exponential Number) :
If two exponential number or more that have same main of number, so the exponen must be sum.
Example 1.1 :
Determine multiplication result bellow :
a. 5^3 x 5^4
b. 5 x 5^3
c. 13^2 x 13^5 x 13
Answer :
a. 5^3 x 5^4 = 5 (3+4) = 5 7
b. 5 x 5^3 = 5(1+3) 5 4
c. 13^2 x 13^5 x 13 = 13(2+5+1) = 138
In general form :
If a is real number and m, n are positive integer, so :
a^m x a^n = a(m+n)
Characteristics 2 (Division of Exponential Number)
If an exponential number is divided to the other exponen number that have same main of number so the exponen have to be subtracted.
Example 1.2 :
Determine division result bellow :
1. 2^3 : 2
2. 5^6 : 5^4
3. 8^7 : 8^7
Answer :
1. 2^3 : 2 = 2 (3-1)
= 2^2
= 4
2. 5^6 : 5^4 = 5(6-4)
= 5^2
= 25
3. 8^7 : 8^2 = 8(7-2)
= 8^2
In general form :
If a is real number and m,n are positive integer, so :
a^m – a^n = a(m-n)
with a ≠ 0, m > 0
Characteristics 3 (Exponen of Exponential Number)
If an exponential number exponentized to the other number, so the exponen must be multiplicated.
Example 1.3 :
Determine exponen result bellow :
1. (3^3)^2
2. (5^2)^4
3. (10^3)^7
Answer :
1. (3^3)^2 = 3^3x2
= 3^6
2. (5^2)^4 = 5^2x4
= 5^8
3. (10^3)^7 = 10^3x7
= 10^21
In general form :
If a is real number and m,n are positive integer, so :
(a^m)^n = a^mxn
Characteristics 4 (Exponen of Multiplication Number)
If the multiplication of two number or more be exponented, so eachs number must be exponented,
Example 1.4 ;
Determine exponent result bellow ;
a. (3a)^3
b. (5.6)^2
c. (xy)^5
Answer :
a. (3a)^3 = 3^3 x a^3 = 27a^3
b. (5.6)^2 = 5^2 x 6^2 = 25 x 30 = 900
c. (xy)^5 = x^5 x y^5
In general number ;
If a is real number and m is positive integer, so :
(ab)^m = a^m x b^m
Characteristics 5 (Exponen of Divide Result of Two Numbers)
If division of two numbers is exponented so eachs number must be exponented.
Example 1.5 :
Determine exponent result bellow :
1. (1/6)^2
2. (3/4)^3
3. (a/7)^2
Answer :
1. (1/6)^2 = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 1^2 / 6^2
2. (3/4)^3 = 3^3 / 4^3 = 27/64
3. (a/7)^2 = a^2 / 7^2 = a^2/49
In general form :
If a, b are real number and m is positive integer, so ;
(a/b)^m = a^m / b^m
with b ≠ 0
Exercise : 1.1
1. Simplify form bellow with using characteristics exponential number !
a. 3^2.3^3
b. 10^4.10^2
c. 8^3 : 8
d. 4^7 : 4^6
e. (2^4)^2
f. (5^3)^3
g. (2x)^4
h. (2^2.x^3.y)^3
2. Simplify form exponential bellow !
a. y^3.y^6
b. p^5 / p^3
c. (n^2)^8
d. (9^x)^3
e. b^6.b^2.b
f. e^2.e^m
g. 6^m.6^n
h. (pq)^r
i. (3a)^2
j. 7^x.7^y.7^c
k. (8^d)^2
l. e^5 : e^4
m. w^2 . w^10 : w^7
n. k^3 : k^2 : k
o. 3^c :3^d.3^2
p. 10^2.10^n
3. Simplify form bellow with using characteristics exponential number !
a. P^3.pq
b. S^3t^4.s^3t
c. m^2n / mn
d. 2k^10.3k^10
e. d^7.d^8 / d
f. 12v^6w : 4v^2
g. 4r^2t^5 / 2rt^2
h. 5xy.5^2
i. 3ab : 3^a
j. y^2z / 2.4y^3z / y
k. (3s^4r^3.2s^5t) / 8sr^3
l. h^n.h^n+1 / h^n-1
4. Write form bellow to simplest form !
a. (p^2q^2)
b. 64y^8 / (2y)^5
c. (b^3d^5)^2 / (bd^2)^3
d. 10(r^4s)^3 : (5r^2)^2
e. 10(r^4s)^3 : (5r^2)^2
f. (e(ef)^2)^3 / f
g. (3c)^4(ce)^2
h. (w^3x^2)(2wx)^2
i. (4m^2)(mn)^3 / 8m^2m
j. (v^5z)^2vz^5 / (vz)^3v^6z^3
k. (3x)^y (2x)^y
l. (a^m)^m+1 : (a^m-1 )^m
B. Exponential of Negative Integerand Nought
1. Exponential of Negative Integer
At characteristics 2, is known that a^m : a^n = a^m-n.
It only means that, if m>n. Now, we concern in this form.
a^3 / a^5 = a x a x a / a x a x a x a x a = 1/a^2; while a^3/a^5 = a^3-5
= a^-2 so, form 1/a^2 = a^-2 (form exponential negative integer)
In general form :
If a is negative integer, so a^-m = 1/a^m and 1/a^-m = a^m
Example 1.6 :
Change in to form positive exponential !
a. 2^-3
b. 1/10^-4
c. 2a^-n; a≠0
d. (a/b)^-m; a≠0, b≠0
Answer :
a. 2^-3 = 1/2^3 = 1/8
b. 1/10^-4 = 10^4 = 10000
c. 2a^-n = 2 . 1/a^n = 2/a^n
d. (a/b)^-m = 1/a^m / b^m = b^m / a^m = (b/a)^m
2. Nought Integer
If the characteristics 2, a^m : a^n = a^m-n, is exponended for m= so we got a^n : a^n = a^n-n = a^0
because a^n : a^n = a^n/a^n = a x a x……x a / a x a x….x a =1
so a^0 = 1
In general form :
If a is real number, and a≠0, so a^0 = 1
Example 1.7 :
Determine exponen result bellow !
a. 5^0
b. (-4)^0
c. (3/4)^0
d. (5q)^0; q≠0
Answer :
a. 5^0 = 1
b. (-4)^0 = 1
c. (3/4)^0 = 3^0 / 4^0 = 1/1 = 1
d. (5q)^0; q≠0 = 5^0 . q^0 = 1.1 = 1
Exercise 1.3 :
1. Simplify form exercise bellow become exponential of positive
a. 5^-1
b. 6^-2
c. 3^-2
d. 2^-4
e. 10^-3
f. (1/2)^-2
g. (1/7)^-1
h. (4/5)^-1
i. 2^-1/3^-1
j. 2^-1 . 4^-2
k. (0,5)^-1
l. (0,4)^-2
m. (0,5)^-2 / 5^-1
n. (2^2 . 4^-1)(2^-2 . 4^3)
o. 1 : 2^-2 : 3^-3
2. Determine result at form bellow !
a. 1^0
b. 3^0
c. (2/5)^0
d. (5m)^0
e. (xy)^0
f. 8q^0
g. (v^6)^0
h. (-5)^0
i. –(-x)^0
j. (k^0 + k^1)
k. 8^0 / 9^0
l. 3^0 . 0
3. Write form bellow to form exponential integer positive
a. q^-3
b. 2/c^-6
c. C^-3/d^-2
d. 2v/v^-1
e. t/pt^-4
Jumat, 02 Januari 2009
“The definition, explanation, and the examples of the terms questioning by Ardhita Kirana Rukmi”
“The definition, explanation, and the examples of the terms questioning
by Ardhita Kirana Rukmi”
1. Besaran
In English : Value
Explanation : Expression of arithmetic, algebra, or analytic that more related with value than relation between that expression]
Example : Unit of long value is metre
2. Jarak Tempuh
In English : Travelled Distance
Explanation : The distance that used to go through journey
Example : Travelled distance from Yogyakarta to Kulon Progo is 21 km
3. Waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak
In English : Time that is need to follow the distance
Example : Time that is need to follow the distance as far as 300 matres is 15 minuts
4. Lingkaran dalam segitiga dan lingkaran luar segitiga
In English : Circle-in the triangle and the outer circle
Explanation of Circle-in the triangle : The circle that touch on the three sides of triangle
Explanation of the outer circle : The circle that trough three angle points of a triangle
Example : Circle with center P is circle in the triangle
5. Sudut dalam dan sudut luar
In English : Interior angle of triangle and exterior angle of triangle
Explanation of Interior angle of triangle : the angle that the measurement of his angle is smaller than the measurement of the angle of this triangle
Explanation of exterior angle of triangle : The angle that his measurement is bigger than the measurement of the angle of this triangle
6. Perbedaan antara luas bidaang dan luas daerah
In English : The different between plane anf area
Example : The are a of trapezium is 96 cm^2
The plane of rectangle is 100 cm^2
7. Himpunan Bagian
In English : Subset
Explanation : A part from group of things of the same kind that belong together
8. Membedakan segitiga sama kaki, sama sisi, dan segitiga sembarang
In English : Difference the isosceles, equilateral, and scalene triangle
Explanation of isosceles triangle : Triangle having two sides equal in length
Explanation of equilateral triangle: Triangle having three sides equal in length
Explanation of scalene triangle : Triangle having all sides not equal in length
Example : Triangle ABC is isosceles triangle
Triangle PQR is equilateral triangle
Triangle KLM is scalene triangle
9. Sudut Bagi
In English : Devide angle
Explanation : Angle between two plane
Example : Angle B is a devide angle of triangle ABC
10. Berapa waktu yang diperlukan roda sebuah sepeda motor untuk berputar selama 300 kali
In English : How much time that is need the wheel of a motorcycle to proce fore 300 times
11. Menentukan sudut keliling dalam-yang menghadap busur
In English : Determine inscribed angle that intercept art
by Ardhita Kirana Rukmi”
1. Besaran
In English : Value
Explanation : Expression of arithmetic, algebra, or analytic that more related with value than relation between that expression]
Example : Unit of long value is metre
2. Jarak Tempuh
In English : Travelled Distance
Explanation : The distance that used to go through journey
Example : Travelled distance from Yogyakarta to Kulon Progo is 21 km
3. Waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak
In English : Time that is need to follow the distance
Example : Time that is need to follow the distance as far as 300 matres is 15 minuts
4. Lingkaran dalam segitiga dan lingkaran luar segitiga
In English : Circle-in the triangle and the outer circle
Explanation of Circle-in the triangle : The circle that touch on the three sides of triangle
Explanation of the outer circle : The circle that trough three angle points of a triangle
Example : Circle with center P is circle in the triangle
5. Sudut dalam dan sudut luar
In English : Interior angle of triangle and exterior angle of triangle
Explanation of Interior angle of triangle : the angle that the measurement of his angle is smaller than the measurement of the angle of this triangle
Explanation of exterior angle of triangle : The angle that his measurement is bigger than the measurement of the angle of this triangle
6. Perbedaan antara luas bidaang dan luas daerah
In English : The different between plane anf area
Example : The are a of trapezium is 96 cm^2
The plane of rectangle is 100 cm^2
7. Himpunan Bagian
In English : Subset
Explanation : A part from group of things of the same kind that belong together
8. Membedakan segitiga sama kaki, sama sisi, dan segitiga sembarang
In English : Difference the isosceles, equilateral, and scalene triangle
Explanation of isosceles triangle : Triangle having two sides equal in length
Explanation of equilateral triangle: Triangle having three sides equal in length
Explanation of scalene triangle : Triangle having all sides not equal in length
Example : Triangle ABC is isosceles triangle
Triangle PQR is equilateral triangle
Triangle KLM is scalene triangle
9. Sudut Bagi
In English : Devide angle
Explanation : Angle between two plane
Example : Angle B is a devide angle of triangle ABC
10. Berapa waktu yang diperlukan roda sebuah sepeda motor untuk berputar selama 300 kali
In English : How much time that is need the wheel of a motorcycle to proce fore 300 times
11. Menentukan sudut keliling dalam-yang menghadap busur
In English : Determine inscribed angle that intercept art
Minggu, 21 Desember 2008
translate indonesia to english
Rahasia Da Vinci Code
JAKARTA -- Novel paling terkenal setelah buku Harry Potter tahun lalu, tak ragu-ragu adalah Da Vinci Code.Ceritanya sangat asyik. Tapi bukan tentang keasyikan kisahnya yang akan ditulis di sini. Halaman ini membahas kode deretan angka matematika yang ajaib, yang dijadikan salah satu kunci penting novel sangat menegangkan itu.
Angka itu adalah 1,6. Angka yang dalam matematika dikenal sebagai Phi dengan simbol .
Dalam salah satu bab, novel Da Vinci Code bercerita tentang bagaimana tokoh utamanya, Robert Langdon, menjelaskan bagaimana angka ini begitu ajaib di alam semesta.
Ingat berapa tinggi tubuh kita? Ambil meteran, ukur tinggi pusar di perut kita dari lantai. Jika tinggi badan dibagi tinggi pusar dihitung, hasilnya adalah 1,6:1
Itu di tubuh manusia. Tapi tidak hanya berlaku di tubuh manusia, tetapi juga pada tumbuhan dan hewan . Contohnya pada suatu cabang dari pohon dan jumlah lebah madu jantan dan betina, jika dibandingkan akan ketemu angka yang mendekati 1,6:1.
Contoh lain, garis-garis di cincin planet Saturnus juga mengikuti pola ini. Lebar masing-masing cincin memiliki rasio 1,6:1.
Angka ajaib ini sudah ditemukan sejak ribuan tahun silam, saat para Fir'aun masih berkuasa di Mesir. Piramid, bangunan raksasa tempat para Fir'aun dimakamkan itu, juga dibangun dengan memanfaatkan Phi.
Belakangan, orang Yunani, mengadopsi angka ajaib ini saat membuat sejumlah bangunan. Partheon yang masih tersisa itu, misalnya, juga dibangun dengan konsep Phi untuk panjang dan lebar bangunan.
Angka ajaib itu, 1,6, memang sudah ribuan tahun ditemukan. Tapi "pasangan" angka itu--deretan Fibonacci--baru muncul pada sekitar abad ke-12.
Deretan ini adalah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, dan seterusnya. Angka yang muncul di deretan adalah penjumlahan dua angka sebelumnya.
Saat Leonardo Fibonacci, yang lahir di Italia pada 1175, menemukan deretan yang membuat namanya abadi, ia tidak sadar deretan itu berhubungan dengan Phi. Ia hanya mengungkap angka ini untuk meneliti tingkat pertumbuhan jumlah kelinci saat jantan dan betina disatukan.
Hubungannya sederhana. Setiap angka dibagi angka sebelumnya dalam deretan itu, hasilnya akan mendekati Phi, mulai dari angka 5. Semakin besar angkanya, semakin dekat dengan Phi yang nilainya 1,618.
Misalnya, 5/3 hasilnya adalah 1,666. Berikutnya, 8/5 adalah 1,6. Digeser satu lagi, 13/8 adalah 1,625. Semuanya dekat dengan 1,618. Jadi, boleh dikatakan, deretan ini menjadi gambaran matematis angka keramat ini.
Deretan Fibonacci yang letaknya diacak menjadi kunci teka-teki pertama dalam novel Da Vinci Code. Tidak mengherankan, soalnya Leonardo Da Vinci--pelukis Mona Lisa, Last Supper, sampai perancang helikopter pertama--sangat gemar memasukkan perbandingan keramat ini dalam karya-karyanya.
Da Vinci sangat memahami betapa teraturnya alam ini tersusun. Keteraturan dengan rasio 1,6:1. Keajaiban alam. Nurkhoiri.
Sumber: da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
The Secret of Da Vinci Code
Jakarta-The most popular novel after Harry potter last year, unhesitant is Da Vinci Code. The story is very absorbed. But this article not tells about its absorbed. This page wills discuses about magic’s code of mathematic number, which become an important key in this novel.
The number is 1,6. The number in mathematic, we usually call with “phi”.
On the one chapter, Da Vinci Code novel tells about how the prominent personage, Robert Langdon, describe how this number is very magic in the world.
Remember how tall our body? Get the ruler, measure high of navel in our stomach from floor. If high of body divided by high of navel, we can get 1,6 : 1
It’s happen in human body. But actually it’s not only in the human body, but also in plant and animal. The example is in branch of tree and quantity of female bee and male bee. In comparison will found that number approach 1,6 : 1.
Other example is lines in ring of Saturnus. Width of each ring have a ratio 1,6 : 1.
This magic number has found since thousand years ago, when Firaun lead Mesir. Pyramid, the giant building, the place which is Firaun was burred, built with use ratio of phi.
Eventually, Greek adopted this magic number when they make some building. Partheon also built with concept of phi to length and the width of building.
That magic number, 1,6 , indeed has been discovery thousand years ago. But, set this number, Fibonacci line are appear around 12th century.
These lines are 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. The number in line is adding two numbers before.
When Leonardo Fibonacci, was born in Italia (1175), found line that make his name eternal, he don’t aware this line related with Phi. He only reveal this number for research level of growth sum of rabbit when join the male and female rabbits.
The related is simple. Each number divided by number before in that line, the result will approach phi, start from 5. The bigger the number, so the price will increasingly approach Phi.
Example, 5/3 that results is 1,666. Then, 8/5 is 1,6, 13/8 is 1,625. All of results are near with 1,618. So, in other word, this line be mathematic illustration this sacred number.
Fibonacci line, that position was random, is a key of first puzzle on Da Vinci Code novel. Not surprise because Leonardo Da Vinci, painter of Mona Lisa, Last Supper, until designer first helicopter, very like input this sacred ratio on his creations.
Da Vinci very understands that the world composed regulated nicely. Regularity with ratio 1,6 : 1. It’s the magic of world. nurkhoiri.
Source : da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
JAKARTA -- Novel paling terkenal setelah buku Harry Potter tahun lalu, tak ragu-ragu adalah Da Vinci Code.Ceritanya sangat asyik. Tapi bukan tentang keasyikan kisahnya yang akan ditulis di sini. Halaman ini membahas kode deretan angka matematika yang ajaib, yang dijadikan salah satu kunci penting novel sangat menegangkan itu.
Angka itu adalah 1,6. Angka yang dalam matematika dikenal sebagai Phi dengan simbol .
Dalam salah satu bab, novel Da Vinci Code bercerita tentang bagaimana tokoh utamanya, Robert Langdon, menjelaskan bagaimana angka ini begitu ajaib di alam semesta.
Ingat berapa tinggi tubuh kita? Ambil meteran, ukur tinggi pusar di perut kita dari lantai. Jika tinggi badan dibagi tinggi pusar dihitung, hasilnya adalah 1,6:1
Itu di tubuh manusia. Tapi tidak hanya berlaku di tubuh manusia, tetapi juga pada tumbuhan dan hewan . Contohnya pada suatu cabang dari pohon dan jumlah lebah madu jantan dan betina, jika dibandingkan akan ketemu angka yang mendekati 1,6:1.
Contoh lain, garis-garis di cincin planet Saturnus juga mengikuti pola ini. Lebar masing-masing cincin memiliki rasio 1,6:1.
Angka ajaib ini sudah ditemukan sejak ribuan tahun silam, saat para Fir'aun masih berkuasa di Mesir. Piramid, bangunan raksasa tempat para Fir'aun dimakamkan itu, juga dibangun dengan memanfaatkan Phi.
Belakangan, orang Yunani, mengadopsi angka ajaib ini saat membuat sejumlah bangunan. Partheon yang masih tersisa itu, misalnya, juga dibangun dengan konsep Phi untuk panjang dan lebar bangunan.
Angka ajaib itu, 1,6, memang sudah ribuan tahun ditemukan. Tapi "pasangan" angka itu--deretan Fibonacci--baru muncul pada sekitar abad ke-12.
Deretan ini adalah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, dan seterusnya. Angka yang muncul di deretan adalah penjumlahan dua angka sebelumnya.
Saat Leonardo Fibonacci, yang lahir di Italia pada 1175, menemukan deretan yang membuat namanya abadi, ia tidak sadar deretan itu berhubungan dengan Phi. Ia hanya mengungkap angka ini untuk meneliti tingkat pertumbuhan jumlah kelinci saat jantan dan betina disatukan.
Hubungannya sederhana. Setiap angka dibagi angka sebelumnya dalam deretan itu, hasilnya akan mendekati Phi, mulai dari angka 5. Semakin besar angkanya, semakin dekat dengan Phi yang nilainya 1,618.
Misalnya, 5/3 hasilnya adalah 1,666. Berikutnya, 8/5 adalah 1,6. Digeser satu lagi, 13/8 adalah 1,625. Semuanya dekat dengan 1,618. Jadi, boleh dikatakan, deretan ini menjadi gambaran matematis angka keramat ini.
Deretan Fibonacci yang letaknya diacak menjadi kunci teka-teki pertama dalam novel Da Vinci Code. Tidak mengherankan, soalnya Leonardo Da Vinci--pelukis Mona Lisa, Last Supper, sampai perancang helikopter pertama--sangat gemar memasukkan perbandingan keramat ini dalam karya-karyanya.
Da Vinci sangat memahami betapa teraturnya alam ini tersusun. Keteraturan dengan rasio 1,6:1. Keajaiban alam. Nurkhoiri.
Sumber: da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
The Secret of Da Vinci Code
Jakarta-The most popular novel after Harry potter last year, unhesitant is Da Vinci Code. The story is very absorbed. But this article not tells about its absorbed. This page wills discuses about magic’s code of mathematic number, which become an important key in this novel.
The number is 1,6. The number in mathematic, we usually call with “phi”.
On the one chapter, Da Vinci Code novel tells about how the prominent personage, Robert Langdon, describe how this number is very magic in the world.
Remember how tall our body? Get the ruler, measure high of navel in our stomach from floor. If high of body divided by high of navel, we can get 1,6 : 1
It’s happen in human body. But actually it’s not only in the human body, but also in plant and animal. The example is in branch of tree and quantity of female bee and male bee. In comparison will found that number approach 1,6 : 1.
Other example is lines in ring of Saturnus. Width of each ring have a ratio 1,6 : 1.
This magic number has found since thousand years ago, when Firaun lead Mesir. Pyramid, the giant building, the place which is Firaun was burred, built with use ratio of phi.
Eventually, Greek adopted this magic number when they make some building. Partheon also built with concept of phi to length and the width of building.
That magic number, 1,6 , indeed has been discovery thousand years ago. But, set this number, Fibonacci line are appear around 12th century.
These lines are 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. The number in line is adding two numbers before.
When Leonardo Fibonacci, was born in Italia (1175), found line that make his name eternal, he don’t aware this line related with Phi. He only reveal this number for research level of growth sum of rabbit when join the male and female rabbits.
The related is simple. Each number divided by number before in that line, the result will approach phi, start from 5. The bigger the number, so the price will increasingly approach Phi.
Example, 5/3 that results is 1,666. Then, 8/5 is 1,6, 13/8 is 1,625. All of results are near with 1,618. So, in other word, this line be mathematic illustration this sacred number.
Fibonacci line, that position was random, is a key of first puzzle on Da Vinci Code novel. Not surprise because Leonardo Da Vinci, painter of Mona Lisa, Last Supper, until designer first helicopter, very like input this sacred ratio on his creations.
Da Vinci very understands that the world composed regulated nicely. Regularity with ratio 1,6 : 1. It’s the magic of world. nurkhoiri.
Source : da vinci code (novel dan brown)/goldennumber.net/wikipedia
translate english to indonesia
Euclidean geometry
Euclidean geometry is a mathematical system attributed to the Greek mathematician Euclid of Alexandria. Euclid's text Elements is the earliest known systematic discussion of geometry. It has been one of the most influential books in history, as much for its method as for its mathematical content. The method consists of assuming a small set of intuitively appealing axioms, and then proving many other propositions (theorems) from those axioms. Although many of Euclid's results had been stated by earlier Greek mathematicians, Euclid was the first to show how these propositions could be fit together into a comprehensive deductive and logical system.
The Elements begin with plane geometry, still taught in secondary school as the first axiomatic system and the first examples of formal proof. The Elements goes on to the solid geometry of three dimensions, and Euclidean geometry was subsequently extended to any finite number of dimensions. Much of the Elements states results of what is now called number theory, proved using geometrical methods.
For over two thousand years, the adjective "Euclidean" was unnecessary because no other sort of geometry had been conceived. Euclid's axioms seemed so intuitively obvious that any theorem proved from them was deemed true in an absolute sense. Today, however, many other self-consistent non-Euclidean geometries are known, the first ones having been discovered in the early 19th century. It also is no longer taken for granted that Euclidean geometry describes physical space. An implication of Einstein's theory of general relativity is that Euclidean geometry is a good approximation to the properties of physical space only if the gravitational field is not too strong.
Axiomatic approach
Euclidean geometry is an axiomatic system, in which all theorems ("true statements") are derived from a finite number of axioms. Near the beginning of the first book of the Elements, Euclid gives five postulates (axioms):
1. Any two points can be joined by a straight line.
2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
4. All right angles are congruent.
5. Parallel postulate. If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.
These axioms invoke the following concepts: point, straight line segment and line, side of a line, circle with radius and center, right angle, congruence, inner and right angles, sum. The following verbs appear: join, extend, draw, intersect. The circle described in postulate 3 is tacitly unique. Postulates 3 and 5 hold only for plane geometry; in three dimensions, postulate 3 defines a sphere.
A proof from Euclid's elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.
Postulate 5 leads to the same geometry as the following statement, known as Playfair's axiom, which also holds only in the plane:
Through a point not on a given straight line, one and only one line can be drawn that never meets the given line.
Postulates 1, 2, 3, and 5 assert the existence and uniqueness of certain geometric figures, and these assertions are of a constructive nature: that is, we are not only told that certain things exist, but are also given methods for creating them with no more than a compass and an unmarked straightedge. In this sense, Euclidean geometry is more concrete than many modern axiomatic systems such as set theory, which often assert the existence of objects without saying how to construct them, or even assert the existence of objects that cannot be constructed within the theory.
Strictly speaking, the constructs of lines on paper etc are models of the objects defined within the formal system, rather than instances of those objects. For example a Euclidean straight line has no width, but any real drawn line will.
The Elements also include the following five "common notions":
1. Things that equal the same thing also equal one another.
2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
4. Things that coincide with one another equal one another.
5. The whole is greater than the part.
Euclid also invoked other properties pertaining to magnitudes. 1 is the only part of the underlying logic that Euclid explicitly articulated. 2 and 3 are "arithmetical" principles; note that the meanings of "add" and "subtract" in this purely geometric context are taken as given. 1 through 4 operationally define equality, which can also be taken as part of the underlying logic or as an equivalence relation requiring, like "coincide," careful prior definition. 5 is a principle of mereology. "Whole", "part", and "remainder" beg for precise definitions.
In the 19th century, it was realized that Euclid's ten axioms and common notions do not suffice to prove all of theorems stated in the Elements. For example, Euclid assumed implicitly that any line contains at least two points, but this assumption cannot be proved from the other axioms, and therefore needs to be an axiom itself. The very first geometric proof in the Elements, shown in the figure on the right, is that any line segment is part of a triangle; Euclid constructs this in the usual way, by drawing circles around both endpoints and taking their intersection as the third vertex. His axioms, however, do not guarantee that the circles actually intersect, because they are consistent with discrete, rather than continuous, space. Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert, George Birkhoff, and Tarski.
To be fair to Euclid, the first formal logic capable of supporting his geometry was that of Frege's 1879 Begriffsschrift, little read until the 1950s. We now see that Euclidean geometry should be embedded in first-order logic with identity, a formal system first set out in Hilbert and Wilhelm Ackermann's 1928 Principles of Theoretical Logic. Formal mereology began only in 1916, with the work of Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski and his students did major work on the foundations of elementary geometry as recently as between 1959 and his death in 1983.
Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Geometri Euclid
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematika Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang pertama mengenai geometri. Ini sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan metode yang mempunyai kandungan matematika. Metode yang mengandung anggapan satu set aksioma secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudian membuktikan banyak usul (teorema-teorema) daripada aksioma-aksioma tersebut. Walaupun banyak hasil dari Euclid sudah dikemukakan oleh ahli-ahli matematika Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang pertama yang menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logika yang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri bidang, yang masih diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioma dan sebagai contoh pembuktian formal yang pertama. Elements menuju pada geometri pejal dalam dimensi tiga, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan Elements menyatakan hasil dalam apa yang kini disebut sebagai teori bilangan, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif "Euclid" tidak diperlukan karena pada masa itu tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma-aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas sehinga pembuktian teorema lainnya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun juga, banyak geometri non Euclid lain telah diketahui, yang pertama telah ditemukan pada awal abad ke-19. Ini juga tidak boleh dianggap mudah bahwa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fisik. Sebuah implikasi dari teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahwa geometri Euclid merupakan sebuah tafsiran terhadap sifat-sifat dari ruang fisik, hanya apabila medan gravitasi tidak terlalui kuat.
Pendekatan aksioma
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem aksioma, dimana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil dari satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksioma):
1. Ada dua titik dapat dihubungkan menjadi satu garis lurus.
2. Ada segmen garis lurus dapat dipanjangkan tak terhingga di dalam satu garis lurus.
3. Diberikan segmen garis lurus, satu lingkaran dapat dilukis dengan menggunakan segmen garis lurus tersebut sebagai jari-jari dan titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut siku-siku adalah kongruen.
5. Postulat kesejajaran. Jika dua garis berpotongan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalam adalah kurang dari satu lagi, maka dua garis ini pasti berpotongan satu sama lain apabila diperpanjang secukupnya.
Aksioma-aksioma ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, garis lurus dan garis, sebagian dari ruas garis, lingkaran dengan jari-jari dan pusat, sudut siku-siku, kekongruenan, sudut-sudut dalam dan siku-siku, jumlah. Hal tersebut memuncukanl: gabungan, perpanjangngan, pelukisan, perpotongan. Lingkaran ini digambarkan pada postulat 3 sangat unik. Postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri bidang; dalam dimensi tiga, postulat 3 mendefinisikan suatu bola.
Sebuah bukti dari buku Euclid "Elements" bahwa apabila diberikan satu segmen garis, satu segitiga sama sisi termasuk segmen garis sebagai salah satu dari tiga sisi. Buktinya adalah dengan mengkonstruksi satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε, berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu perpotongan pada lingkaran sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 dibawa kepada geometri yang sama seperti penyataan berikut, yang dikenal sebagai Aksioma Playfair, yang hanya berlaku pada bidang itu.
Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, hanya ada satu garis yang dapat dilukis, yang tidak mungkin bertemu dengan garis yang diberikan tersebut.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan tidak lepas dari satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam pengertian ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksioma modern lainnya seperti teori set, dimana sering menegaskan keberadaan objek-objek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek-objek yang tidak dikonstruksi dengan teorimtersebut.
Sebenarnya, konstruksi garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model dari objek yang lebih baik didefinisikan dari sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek tersebut. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi ada garis yang dapat digambar menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":
1. Sesuatu yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan setara, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara dikurangkan setara, maka sisanya juga adalah setara.
4. Sesuatu yang bertepatan dengan satu sama lain juga setara antara satu sama lain.
5. Jumlah keseluruhan adalah lebih besar daripada bagiannya.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan jarak. 1 adalah satu-satunya bagian dari dasar logika yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetika"; perhatikan bahwa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini berarti diberi dan diambil. 1 hingga 4 secara operasional mempunyai persamaan, dimana boleh juga diambil sebagai bagian dasar logika atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertepatan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah sebuah prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebagian", dan ”sisa" memerlukan definisi yang tepat.
Pada abad ke-19, hal tersebut mengingatkan bahwa 10 aksioma Euclid dan notasi-notasi yang umum tidak mencukupi untuk membuktikan pernyataan dari semua teorema pada Elements. Contohnya, secara implisit Euclid mengansumsikan bahwa sebuah garis disusun setidaknya dari 2 titik, tetapi asumsi ini tidak bisa dibuktikan dari aksioma yang lainnya. Dan oleh karena itudiperlukan menjadi aksioma tersendiri. Bukti geometri yang paling pertama dalam Element, ditunjukkan dalam ambar pada siku-siku, bahwa setiap segmen garis adalah bagian dari segitiga; Euclid menyusun hal ini dengan cara biasa, dengan menggambar lingkaran-lingkaran disekitar titik-titik ujung dan mengambil garis potongnya sebagai ketiga vertex. Bagaimanapun aksiomanya tidak dapat menjamin bahwa lingkaran-lingkaran tersebut secara tepat berpotongan, karena keduanya berlainan, daripada berkelanjutan, ruang. Dimulai dengan Moritz Pasch tahun 1882, banyak sistem aksioma diperbaiki untuk geometri telah diusulkan, yang paling dikenal dari Hilbert, George Birkhoff, dan Tarski.
Keadilan untuk Euclid, logika formal yang pertama mampu mendukung geometrinya yang ada pada Frege’s tahun 1879 Begriffsschrif, sedikit dibaca sampai tahun 1950an. Kita sekarang tahu bahwa geometri Euclid selayaknya terkandung diorder logika pertama dengan identitas, sebuah sistem formal dikeluarkan pertama kali di Hilbert dan Wilhelm Ackermann tahun 1928 prinsip dari teori logika. Mereologi formal dimulai pada tahun1916, oleh Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski dan muridnya bekerja pada dasar dari geometri dasar yang baru-baru ini antara tahun 1959 dan beliau meninggal pada tahun 1983.
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Euclidean geometry is a mathematical system attributed to the Greek mathematician Euclid of Alexandria. Euclid's text Elements is the earliest known systematic discussion of geometry. It has been one of the most influential books in history, as much for its method as for its mathematical content. The method consists of assuming a small set of intuitively appealing axioms, and then proving many other propositions (theorems) from those axioms. Although many of Euclid's results had been stated by earlier Greek mathematicians, Euclid was the first to show how these propositions could be fit together into a comprehensive deductive and logical system.
The Elements begin with plane geometry, still taught in secondary school as the first axiomatic system and the first examples of formal proof. The Elements goes on to the solid geometry of three dimensions, and Euclidean geometry was subsequently extended to any finite number of dimensions. Much of the Elements states results of what is now called number theory, proved using geometrical methods.
For over two thousand years, the adjective "Euclidean" was unnecessary because no other sort of geometry had been conceived. Euclid's axioms seemed so intuitively obvious that any theorem proved from them was deemed true in an absolute sense. Today, however, many other self-consistent non-Euclidean geometries are known, the first ones having been discovered in the early 19th century. It also is no longer taken for granted that Euclidean geometry describes physical space. An implication of Einstein's theory of general relativity is that Euclidean geometry is a good approximation to the properties of physical space only if the gravitational field is not too strong.
Axiomatic approach
Euclidean geometry is an axiomatic system, in which all theorems ("true statements") are derived from a finite number of axioms. Near the beginning of the first book of the Elements, Euclid gives five postulates (axioms):
1. Any two points can be joined by a straight line.
2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.
4. All right angles are congruent.
5. Parallel postulate. If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.
These axioms invoke the following concepts: point, straight line segment and line, side of a line, circle with radius and center, right angle, congruence, inner and right angles, sum. The following verbs appear: join, extend, draw, intersect. The circle described in postulate 3 is tacitly unique. Postulates 3 and 5 hold only for plane geometry; in three dimensions, postulate 3 defines a sphere.
A proof from Euclid's elements that, given a line segment, an equilateral triangle exists that includes the segment as one of its sides. The proof is by construction: an equilateral triangle ΑΒΓ is made by drawing circles Δ and Ε centered on the points Α and Β, and taking one intersection of the circles as the third vertex of the triangle.
Postulate 5 leads to the same geometry as the following statement, known as Playfair's axiom, which also holds only in the plane:
Through a point not on a given straight line, one and only one line can be drawn that never meets the given line.
Postulates 1, 2, 3, and 5 assert the existence and uniqueness of certain geometric figures, and these assertions are of a constructive nature: that is, we are not only told that certain things exist, but are also given methods for creating them with no more than a compass and an unmarked straightedge. In this sense, Euclidean geometry is more concrete than many modern axiomatic systems such as set theory, which often assert the existence of objects without saying how to construct them, or even assert the existence of objects that cannot be constructed within the theory.
Strictly speaking, the constructs of lines on paper etc are models of the objects defined within the formal system, rather than instances of those objects. For example a Euclidean straight line has no width, but any real drawn line will.
The Elements also include the following five "common notions":
1. Things that equal the same thing also equal one another.
2. If equals are added to equals, then the wholes are equal.
3. If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.
4. Things that coincide with one another equal one another.
5. The whole is greater than the part.
Euclid also invoked other properties pertaining to magnitudes. 1 is the only part of the underlying logic that Euclid explicitly articulated. 2 and 3 are "arithmetical" principles; note that the meanings of "add" and "subtract" in this purely geometric context are taken as given. 1 through 4 operationally define equality, which can also be taken as part of the underlying logic or as an equivalence relation requiring, like "coincide," careful prior definition. 5 is a principle of mereology. "Whole", "part", and "remainder" beg for precise definitions.
In the 19th century, it was realized that Euclid's ten axioms and common notions do not suffice to prove all of theorems stated in the Elements. For example, Euclid assumed implicitly that any line contains at least two points, but this assumption cannot be proved from the other axioms, and therefore needs to be an axiom itself. The very first geometric proof in the Elements, shown in the figure on the right, is that any line segment is part of a triangle; Euclid constructs this in the usual way, by drawing circles around both endpoints and taking their intersection as the third vertex. His axioms, however, do not guarantee that the circles actually intersect, because they are consistent with discrete, rather than continuous, space. Starting with Moritz Pasch in 1882, many improved axiomatic systems for geometry have been proposed, the best known being those of Hilbert, George Birkhoff, and Tarski.
To be fair to Euclid, the first formal logic capable of supporting his geometry was that of Frege's 1879 Begriffsschrift, little read until the 1950s. We now see that Euclidean geometry should be embedded in first-order logic with identity, a formal system first set out in Hilbert and Wilhelm Ackermann's 1928 Principles of Theoretical Logic. Formal mereology began only in 1916, with the work of Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski and his students did major work on the foundations of elementary geometry as recently as between 1959 and his death in 1983.
Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Geometri Euclid
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang ahli matematika Yunani bernama Euclid dari Alexandria. Teks Euclid, Elements merupakan sebuah kajian sistematik yang pertama mengenai geometri. Ini sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengaruh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan metode yang mempunyai kandungan matematika. Metode yang mengandung anggapan satu set aksioma secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudian membuktikan banyak usul (teorema-teorema) daripada aksioma-aksioma tersebut. Walaupun banyak hasil dari Euclid sudah dikemukakan oleh ahli-ahli matematika Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang pertama yang menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan sistem logika yang komprehensif.
Buku Elements ini bermula dengan geometri bidang, yang masih diajar di sekolah menengah sebagai satu sistem aksioma dan sebagai contoh pembuktian formal yang pertama. Elements menuju pada geometri pejal dalam dimensi tiga, dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan dimensi yang terhingga. Kebanyakan Elements menyatakan hasil dalam apa yang kini disebut sebagai teori bilangan, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan metode geometri.
Selama dua ribu tahun, kata adjektif "Euclid" tidak diperlukan karena pada masa itu tidak ada geometri lain yang disusun. Aksioma-aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas sehinga pembuktian teorema lainnya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun juga, banyak geometri non Euclid lain telah diketahui, yang pertama telah ditemukan pada awal abad ke-19. Ini juga tidak boleh dianggap mudah bahwa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fisik. Sebuah implikasi dari teori Einstein mengenai teori kerelatifan umum bahwa geometri Euclid merupakan sebuah tafsiran terhadap sifat-sifat dari ruang fisik, hanya apabila medan gravitasi tidak terlalui kuat.
Pendekatan aksioma
Geometri Euclid merupakan sebuah sistem aksioma, dimana semua teorema ("penyataan benar") adalah diambil dari satu bilangan aksioma-aksioma yang terhingga. Pada permulaan buku Elements yang pertama, Euclid memberikan lima postulat (aksioma):
1. Ada dua titik dapat dihubungkan menjadi satu garis lurus.
2. Ada segmen garis lurus dapat dipanjangkan tak terhingga di dalam satu garis lurus.
3. Diberikan segmen garis lurus, satu lingkaran dapat dilukis dengan menggunakan segmen garis lurus tersebut sebagai jari-jari dan titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut siku-siku adalah kongruen.
5. Postulat kesejajaran. Jika dua garis berpotongan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalam adalah kurang dari satu lagi, maka dua garis ini pasti berpotongan satu sama lain apabila diperpanjang secukupnya.
Aksioma-aksioma ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, garis lurus dan garis, sebagian dari ruas garis, lingkaran dengan jari-jari dan pusat, sudut siku-siku, kekongruenan, sudut-sudut dalam dan siku-siku, jumlah. Hal tersebut memuncukanl: gabungan, perpanjangngan, pelukisan, perpotongan. Lingkaran ini digambarkan pada postulat 3 sangat unik. Postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri bidang; dalam dimensi tiga, postulat 3 mendefinisikan suatu bola.
Sebuah bukti dari buku Euclid "Elements" bahwa apabila diberikan satu segmen garis, satu segitiga sama sisi termasuk segmen garis sebagai salah satu dari tiga sisi. Buktinya adalah dengan mengkonstruksi satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε, berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu perpotongan pada lingkaran sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.
Postulat 5 dibawa kepada geometri yang sama seperti penyataan berikut, yang dikenal sebagai Aksioma Playfair, yang hanya berlaku pada bidang itu.
Melalui sebuah titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, hanya ada satu garis yang dapat dilukis, yang tidak mungkin bertemu dengan garis yang diberikan tersebut.
Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan dan keunikan dari bidang geometri, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu, kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk membuatnya dengan tidak lepas dari satu kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda. Dalam pengertian ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksioma modern lainnya seperti teori set, dimana sering menegaskan keberadaan objek-objek tanpa memberitahukan bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek-objek yang tidak dikonstruksi dengan teorimtersebut.
Sebenarnya, konstruksi garis di atas kertas dan sebagainya adalah model-model dari objek yang lebih baik didefinisikan dari sistem formal, daripada hanya contoh-contoh objek tersebut. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi ada garis yang dapat digambar menjadi lebar.
Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":
1. Sesuatu yang sama dengan benda yang sama tetapi juga setara antara satu sama lain.
2. Jika setara ditambahkan setara, maka jumlah keseluruhan juga adalah setara.
3. Jika setara dikurangkan setara, maka sisanya juga adalah setara.
4. Sesuatu yang bertepatan dengan satu sama lain juga setara antara satu sama lain.
5. Jumlah keseluruhan adalah lebih besar daripada bagiannya.
Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan jarak. 1 adalah satu-satunya bagian dari dasar logika yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetika"; perhatikan bahwa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini berarti diberi dan diambil. 1 hingga 4 secara operasional mempunyai persamaan, dimana boleh juga diambil sebagai bagian dasar logika atau sebagai satu keperluan hubungan kesetaraan , seperti "pertepatan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah sebuah prinsip mereologi. "Keseluruhan", "sebagian", dan ”sisa" memerlukan definisi yang tepat.
Pada abad ke-19, hal tersebut mengingatkan bahwa 10 aksioma Euclid dan notasi-notasi yang umum tidak mencukupi untuk membuktikan pernyataan dari semua teorema pada Elements. Contohnya, secara implisit Euclid mengansumsikan bahwa sebuah garis disusun setidaknya dari 2 titik, tetapi asumsi ini tidak bisa dibuktikan dari aksioma yang lainnya. Dan oleh karena itudiperlukan menjadi aksioma tersendiri. Bukti geometri yang paling pertama dalam Element, ditunjukkan dalam ambar pada siku-siku, bahwa setiap segmen garis adalah bagian dari segitiga; Euclid menyusun hal ini dengan cara biasa, dengan menggambar lingkaran-lingkaran disekitar titik-titik ujung dan mengambil garis potongnya sebagai ketiga vertex. Bagaimanapun aksiomanya tidak dapat menjamin bahwa lingkaran-lingkaran tersebut secara tepat berpotongan, karena keduanya berlainan, daripada berkelanjutan, ruang. Dimulai dengan Moritz Pasch tahun 1882, banyak sistem aksioma diperbaiki untuk geometri telah diusulkan, yang paling dikenal dari Hilbert, George Birkhoff, dan Tarski.
Keadilan untuk Euclid, logika formal yang pertama mampu mendukung geometrinya yang ada pada Frege’s tahun 1879 Begriffsschrif, sedikit dibaca sampai tahun 1950an. Kita sekarang tahu bahwa geometri Euclid selayaknya terkandung diorder logika pertama dengan identitas, sebuah sistem formal dikeluarkan pertama kali di Hilbert dan Wilhelm Ackermann tahun 1928 prinsip dari teori logika. Mereologi formal dimulai pada tahun1916, oleh Lesniewski and A. N. Whitehead. Tarski dan muridnya bekerja pada dasar dari geometri dasar yang baru-baru ini antara tahun 1959 dan beliau meninggal pada tahun 1983.
Sumber : http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_geometry
Langganan:
Postingan (Atom)
